Clausal Language (ver. 5.81.21, by P.J. Voda, J. Komara, J. Kluka)

9. CVIČENIE Z PREDMETU ÚVOD DO DEKLARATÍVNEHO PROGRAMOVANIA LS 2014/2015

ČASŤ B

http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/ex/ex09.zip

Dátum: 29. 4. 2015

Odporúčaná verzia CL: 5.81.21

WWW stránka predmetu: http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/

Kontakt: udp(zavináč)lists.dai.fmph.uniba.sk

Úvodná poznámka. Toto cvičenie je venované postfixovému stroju a numerickým výrazom.

Literatúra.

[1] J. Kľuka. Prednášky z Úvodu do deklaratívneho programovania LS 2014/2015.

http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/udp-prednasky-2015.pdf

[2] D. Guller. Poznámky k prednáškam z CL.

[3] J. Komara and P. J. Voda. Metamathematics of Computer Programming. 2001.

Poznámka. Nadpisy sú číslované podľa [1].

Preskočte nasledujúce komponenty po nadpis „CVIČENIE“.

C V I Č E N I E

16. ARITMETICKÉ VÝRAZY A VÝROKOVÉ FORMULY

16.3. Výrokové formuly

Definícia. Výrokovou formulou (skrátene formulou) je:

výroková premenná $X_{i}$ ,
konštanta nepravda $⊥$ , konštanta pravda $⊤$ ,
negácia $\neg f$ , ak $f$ je výrokovou formulou,
disjunkcia $f_{1} \lor f_{2}$ , konjunkcia $f_{1} \land f_{2}$ a implikácia $f_{1} \to f_{2}$ , ak $f_{1}$ a $f_{2}$ sú výrokovými formulami.

Nič iné nie je výrokovou formulou.

Kódovanie výrokových formúl. Výrokové formuly zakódujeme podobne ako binárne stromy či aritmetické výrazy nasledujúcimi párovacími konštruktormi. Konštruktory jednotlivých typov výrokových formúl sú uvedené v rovnakom poradí ako v predchádzajúcej definícii.

Predikát $Form (f)$ platí, ak $f$ je kódom výrokovej formuly.

X_{i}^{•} = 0, i

⊥^{•} = 1, 0

⊤^{•} = 2, 0

\neg^{•} f_{1} = 3, f_{1}

f_{1} \lor^{•} f_{2} = 4, f_{1}, f_{2}

f_{1} \land^{•} f_{2} = 5, f_{1}, f_{2}

f_{1} \to^{•} f_{2} = 6, f_{1}, f_{2}

Form (X_{i}^{•}) \leftarrow N (i)

Form (⊥^{•})

Form (⊤^{•})

Form (\neg^{•} f_{1}) \leftarrow Form (f_{1})

Form (f_{1} \lor^{•} f_{2}) \leftarrow Form (f_{1}) \land Form (f_{2})

Form (f_{1} \land^{•} f_{2}) \leftarrow Form (f_{1}) \land Form (f_{2})

Form (f_{1} \to^{•} f_{2}) \leftarrow Form (f_{1}) \land Form (f_{2})

Príklad. Nasledujúca konštanta kóduje formulu $(X_{0} \land X_{1}) \to (X_{0} \lor X_{1})$ . Pozrite si zdrojový kód jej definície.

And_impl_or = (X_{0}^{•} \land^{•} X_{1}^{•}) \to^{•} (X_{0}^{•} \lor^{•} X_{1}^{•})

Príklad. Nasledujúca konštanta kóduje formulu, ktorá vyjadruje de Morganov zákon pre konjunkciu

\neg (X_{0} \land X_{1}) \leftrightarrow (\neg X_{0} \lor \neg X_{1})

pričom ekvivalencia je nahradená konjunkciou implikácií v jednom a druhom smere. Aby bol kód formuly prehľadnejší, zadefinovali sme konštantu klauzulou, v tele ktorej sme ľavú a pravú stranu ekvivalencie priradili do pomocných premenných.

De_morgan_conj = (notand \to^{•} ornotnot) \land^{•} (ornotnot \to^{•} notand) \leftarrow \neg^{•} (X_{0}^{•} \land^{•} X_{1}^{•}) = notand \land \neg^{•} X_{0}^{•} \lor^{•} \neg^{•} X_{1}^{•} = ornotnot

Úloha. Zakódujte formulu, ktorá vyjadruje distributívnosť disjunkcie cez konjunkciu

(X_{0} \lor (X_{1} \land X_{2})) \leftrightarrow ((X_{0} \lor X_{1}) \land (X_{0} \lor X_{2}))

Ekvivalenciu vyjadrite konjunkciou implikácií.

Distrib_disj_conj = ? \land^{•} ?

Úloha. Zadefinujte predikát $True (vs, f) \equiv vs ⊨ f$ , ktorý platí práve vtedy, keď je výroková formula s kódom $f$ pravdivá pri ohodnotení premenných $vs$ .

Ohodnotenie výrokových premenných $vs$ je zoznam čísel $0$ a $1$ . Výroková premenná $X_{i}^{•}$ je pravdivá pri ohodnotení $vs$ , ak je prvok $vs [i]$ rovný $1$ .

Testovanie:

    True_test = rs:Results_true

vs ⊨ X_{i}^{•} \leftarrow ?

vs ⊨ ⊥^{•} \leftarrow ?

vs ⊨ ⊤^{•} \leftarrow ?

vs ⊨ (\neg^{•} f_{1}) \leftarrow ?

vs ⊨ (f_{1} \land^{•} f_{2}) \leftarrow ?

vs ⊨ (f_{1} \lor^{•} f_{2}) \leftarrow ?

vs ⊨ (f_{1} \to^{•} f_{2}) \leftarrow ?

Pomocné definície pre testovanie.

vs ⊨_{*} f = 0 \leftarrow \neg vs ⊨ f

vs ⊨_{*} f = 1 \leftarrow vs ⊨ f

Map_true_(f, 0) = 0

Map_true_(f, vs, vss) = vs ⊨_{*} f, Map_true_(f, vss)

Check_true (f, vss, rs) = {Testing on f : Map_true_(f, vss) =^{?} rs}

True_test = Check_true (X_{0}^{•}, {vss}_{2}, (0, 0, 1, 1, 0)), Check_true (X_{1}^{•}, {vss}_{2}, (0, 1, 0, 1, 0)), Check_true (X_{5}^{•}, {vss}_{2}, (0, 0, 0, 0, 0)), Check_true (⊥^{•}, {vss}_{2}, (0, 0, 0, 0, 0)), Check_true (⊤^{•}, {vss}_{2}, (1, 1, 1, 1, 0)), Check_true (\neg^{•} X_{0}^{•}, {vss}_{2}, (1, 1, 0, 0, 0)), Check_true (\neg^{•} X_{1}^{•}, {vss}_{2}, (1, 0, 1, 0, 0)), Check_true (X_{0}^{•} \land^{•} X_{1}^{•}, {vss}_{2}, (0, 0, 0, 1, 0)), Check_true (X_{0}^{•} \lor^{•} X_{1}^{•}, {vss}_{2}, (0, 1, 1, 1, 0)), Check_true (X_{0}^{•} \to^{•} X_{1}^{•}, {vss}_{2}, (1, 1, 0, 1, 0)), Check_true (xor, {vss}_{2}, (0, 1, 1, 0, 0)), Check_true (ifthenelse, {vss}_{3}, (0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0)), 0 \leftarrow \neg^{•} (X_{0}^{•} \to^{•} X_{1}^{•}) \lor^{•} \neg^{•} (X_{1}^{•} \to^{•} X_{0}^{•}) = xor \land (X_{0}^{•} \to^{•} X_{1}^{•}) \land^{•} (\neg^{•} X_{0}^{•} \to^{•} X_{2}^{•}) = ifthenelse \land (0, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0), 0 = {vss}_{2} \land (1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (0, 0, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0), (0, 1, 1, 0), 0 = {vss}_{3}

16.4. Transformácia výrokových formúl

Konjunktívne formuly

Definícia. Konjunktívna formula je taká výroková formula, ktorá obsahuje iba výrokové premenné, negáciu a konjunkciu.

Predikát $Cform$ platí pre kódy konjunktívnych formúl.

Cform (X_{i}^{•}) \leftarrow N (i)

Cform (\neg^{•} f_{1}) \leftarrow Cform (f_{1})

Cform (f_{1} \land^{•} f_{2}) \leftarrow Cform (f_{1}) \land Cform (f_{2})

Úloha. Zadefinujte funkciu $Cform_from (f)$ , ktorá pre ľubovoľnú výrokovú formulu $f$ zostrojí ekvivalentnú konjunktívnu formulu.

Špecifikácia.

Form (f) \to Cform Cform_from (f)

Form (f) \to \forall vs (vs ⊨ f \leftrightarrow vs ⊨ Cform_from (f))

Návod. Využite nasledujúce ekvivalencie:

⊥ \leftrightarrow (X_{0} \land \neg X_{0})

(A \lor B) \leftrightarrow \neg (\neg A \land \neg B)

(A \to B) \leftrightarrow \neg (A \land \neg B)

Testovanie.

    Cform_from_test0 = rs:Results_form
    Cform_from_test = rs:Results_form_transf

Prvý test je konkrétnejší, ale zbytočne prísny – za nesprávne transformované môže prehlásiť aj formuly, ktoré vyhovujú špecifikácii. Druhý test je abstraktnejší, testuje splnenie jednotlivých podmienok špecifikácie.

Cform_from (X_{i}^{•}) = ?

Cform_from (⊥^{•}) = ?

Cform_from (⊤^{•}) = ?

Cform_from (\neg^{•} f_{1}) = ?

Cform_from (f_{1} \land^{•} f_{2}) = ?

Cform_from (f_{1} \lor^{•} f_{2}) = ?

Cform_from (f_{1} \to^{•} f_{2}) = ?

{Cform_from_test}_{0} = (Cform_from (X_{0}^{•} \land^{•} \neg^{•} (X_{2}^{•} \land^{•} \neg^{•} X_{1}^{•})) =^{?} X_{0}^{•} \land^{•} \neg^{•} (X_{2}^{•} \land^{•} \neg^{•} X_{1}^{•})), (Cform_from (f_{2}) =^{?} {cf}_{2}), (Cform_from (f_{3}) =^{?} {cf}_{3}), (Cform_from (f_{4}) =^{?} {cf}_{4}), (Cform_from (f_{5}) =^{?} {cf}_{5}), 0 \leftarrow \neg^{•} (X_{0}^{•} \lor^{•} \neg^{•} X_{1}^{•}) = f_{2} \land \neg^{•} \neg^{•} (\neg^{•} X_{0}^{•} \land^{•} \neg^{•} \neg^{•} X_{1}^{•}) = {cf}_{2} \land (X_{1}^{•} \to^{•} X_{2}^{•}) \land^{•} \neg^{•} (X_{0}^{•} \lor^{•} X_{1}^{•}) = f_{3} \land \neg^{•} (X_{1}^{•} \land^{•} \neg^{•} X_{2}^{•}) \land^{•} \neg^{•} \neg^{•} (\neg^{•} X_{0}^{•} \land^{•} \neg^{•} X_{1}^{•}) = {cf}_{3} \land (X_{0}^{•} \to^{•} \neg^{•} X_{1}^{•}) \lor^{•} (\neg^{•} X_{2}^{•} \to^{•} X_{1}^{•}) = f_{4} \land \neg^{•} (\neg^{•} \neg^{•} (X_{0}^{•} \land^{•} \neg^{•} \neg^{•} X_{1}^{•}) \land^{•} \neg^{•} \neg^{•} (\neg^{•} X_{2}^{•} \land^{•} \neg^{•} X_{1}^{•})) = {cf}_{4} \land \neg^{•} (X_{2}^{•} \lor^{•} \neg^{•} X_{1}^{•}) \to^{•} (\neg^{•} X_{1}^{•} \lor^{•} X_{0}^{•}) = f_{5} \land \neg^{•} (\neg^{•} \neg^{•} (\neg^{•} X_{2}^{•} \land^{•} \neg^{•} \neg^{•} X_{1}^{•}) \land^{•} \neg^{•} \neg^{•} (\neg^{•} \neg^{•} X_{1}^{•} \land^{•} \neg^{•} X_{0}^{•})) = {cf}_{5}

Check_cform_from (vss, 0) = 0

Check_cform_from (vss, f, fs) = {Testing on f : Check_cform (cf); (Map_true_(f, vss) =^{?} Map_true_(cf, vss))}, Check_cform_from (vss, fs) \leftarrow Cform_from (f) = cf

Cform_from_test = Check_cform_from ({Fvss}_{3}, f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}, f_{5}, f_{6}, f_{7}, f_{8}, f_{9}, f_{10}, f_{11}, 0) \leftarrow X_{2}^{•} = f_{1} \land ⊤^{•} = f_{2} \land ⊥^{•} = f_{3} \land \neg^{•} X_{1}^{•} = f_{4} \land X_{1}^{•} \land^{•} X_{2}^{•} = f_{5} \land X_{0}^{•} \lor^{•} X_{1}^{•} = f_{6} \land X_{0}^{•} \to^{•} X_{2}^{•} = f_{7} \land \neg^{•} (X_{0}^{•} \to^{•} X_{1}^{•}) \lor^{•} \neg^{•} (X_{1}^{•} \to^{•} X_{0}^{•}) = f_{8} \land (X_{0}^{•} \to^{•} X_{1}^{•}) \land^{•} (\neg^{•} X_{0}^{•} \to^{•} X_{2}^{•}) = f_{9} \land \neg^{•} (X_{0}^{•} \land^{•} (⊤^{•} \land^{•} X_{1}^{•})) \to^{•} (⊥^{•} \lor^{•} (\neg^{•} X_{0}^{•} \lor^{•} \neg^{•} X_{1}^{•})) = f_{10} \land ((X_{0}^{•} \to^{•} ⊥^{•}) \lor^{•} \neg^{•} X_{1}^{•}) \to^{•} \neg^{•} (X_{0}^{•} \land^{•} X_{1}^{•}) = f_{11}

Negačný normálny tvar

Definícia. Výroková formula je v negačnom normálnom tvare práve vtedy, keď sa skladá iba z výrokových premenných, negácií výrokových premenných, disjunkcií a konjunkcií.

Predikát $Nnf$ platí pre kódy formúl v negačnom normálnom tvare.

Nnf (X_{i}^{•})

Nnf (\neg^{•} X_{i}^{•})

Nnf (f_{1} \land^{•} f_{2}) \leftarrow Nnf (f_{1}) \land Nnf (f_{2})

Nnf (f_{1} \lor^{•} f_{2}) \leftarrow Nnf (f_{1}) \land Nnf (f_{2})

Úloha. Zadefinujte funkciu $Nnf_from (f)$ , ktorá pre ľubovoľnú výrokovú formulu $f$ zostrojí ekvivalentnú formulu v negačnom normálnom tvare.

Špecifikácia.

Form (f) \to Nnf Nnf_from (f)

Form (f) \to \forall vs (vs ⊨ f \leftrightarrow vs ⊨ Nnf_from (f))

Návod. Využite ekvivalencie spomínané pri funkcii $Cform_from$ a de Morganove zákony:

\neg (A \lor B) \leftrightarrow (\neg A \land \neg B)

\neg (A \land B) \leftrightarrow (\neg A \lor \neg B)

Testovanie.

    Nnf_from_test = rs:Results_form_transf

Nnf_from (X_{i}^{•}) = ?

Nnf_from (⊥^{•}) = ?

Nnf_from (⊤^{•}) = ?

Nnf_from (f_{1} \land^{•} f_{2}) = ?

Nnf_from (f_{1} \lor^{•} f_{2}) = ?

Nnf_from (f_{1} \to^{•} f_{2}) = ?

Nnf_from (\neg^{•} X_{i}^{•}) = ?

Nnf_from (\neg^{•} \neg^{•} f_{1}) = ?

Nnf_from (\neg^{•} ⊥^{•}) = ?

Nnf_from (\neg^{•} ⊤^{•}) = ?

Nnf_from (\neg^{•} (f_{1} \land^{•} f_{2})) = ?

Nnf_from (\neg^{•} (f_{1} \lor^{•} f_{2})) = ?

Nnf_from (\neg^{•} (f_{1} \to^{•} f_{2})) = ?

Check_nnf_from (vss, 0) = 0

Check_nnf_from (vss, f, fs) = {Testing on f : Check_nnf (cf); (Map_true_(f, vss) =^{?} Map_true_(cf, vss))}, Check_nnf_from (vss, fs) \leftarrow Nnf_from (f) = cf

Nnf_from_test = Check_nnf_from ({Fvss}_{3}, f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}, f_{5}, f_{6}, f_{7}, f_{8}, f_{9}, f_{10}, f_{11}, f_{12}, f_{13}, 0) \leftarrow X_{2}^{•} = f_{1} \land ⊤^{•} = f_{2} \land ⊥^{•} = f_{3} \land \neg^{•} X_{1}^{•} = f_{4} \land X_{1}^{•} \land^{•} X_{2}^{•} = f_{5} \land X_{0}^{•} \lor^{•} X_{1}^{•} = f_{6} \land X_{0}^{•} \to^{•} X_{2}^{•} = f_{7} \land \neg^{•} (X_{0}^{•} \to^{•} X_{1}^{•}) \lor^{•} \neg^{•} (X_{1}^{•} \to^{•} X_{0}^{•}) = f_{8} \land (X_{0}^{•} \to^{•} X_{1}^{•}) \land^{•} (\neg^{•} X_{0}^{•} \to^{•} X_{2}^{•}) = f_{9} \land \neg^{•} \neg^{•} \neg^{•} (X_{0}^{•} \land^{•} X_{1}^{•}) \to^{•} (\neg^{•} X_{0}^{•} \lor^{•} \neg^{•} X_{1}^{•}) = f_{10} \land ((X_{0}^{•} \to^{•} ⊥^{•}) \lor^{•} \neg^{•} X_{1}^{•}) \to^{•} \neg^{•} (X_{0}^{•} \land^{•} X_{1}^{•}) = f_{11} \land \neg^{•} (X_{0}^{•} \lor^{•} (\neg^{•} ⊥^{•} \land^{•} X_{1}^{•})) \to^{•} (\neg^{•} X_{0}^{•} \land^{•} \neg^{•} X_{1}^{•}) = f_{12} \land (\neg^{•} (⊤^{•} \to^{•} X_{0}^{•}) \land^{•} (X_{1}^{•} \to^{•} \neg^{•} ⊤^{•})) \to^{•} \neg^{•} (X_{0}^{•} \lor^{•} X_{1}^{•}) = f_{13}

Query:

Heap used: 578252 free: 133638524

Time used: 0:0:1:0