Clausal Language (ver. 5.81.20, by P.J. Voda, J. Komara, J. Kluka)

9. CVIČENIE Z PREDMETU ÚVOD DO DEKLARATÍVNEHO PROGRAMOVANIA LS 2013/2014

ČASŤ B

http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/ex/ex09.zip

Dátum: 15. a 16. 4. 2014

Odporúčaná verzia CL: 5.81.20

WWW stránka predmetu: http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/

Kontakt: udp(zavináč)lists.dai.fmph.uniba.sk

Úvodná poznámka. Toto cvičenie je venované úplným binárnym stromom a číslovaniu vrcholov binárnych stromov (ex09a) a všeobecným stromom (ex09b).

Literatúra.

[1] J. Kľuka. Prednášky z Úvodu do deklaratívneho programovania LS 2013/2014.

http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/udp-prednasky-2014.pdf

[2] D. Guller. Poznámky k prednáškam z CL.

[3] J. Komara and P. J. Voda. Metamathematics of Computer Programming. 2001.

Poznámka. Nadpisy sú číslované podľa [1].

Preskočte nasledujúce komponenty po nadpis „CVIČENIE“.

C V I Č E N I E

16. VŠEOBECNÉ STROMY

16.1. Kódovanie všeobecných stromov

Konštruktor všeobecných stromov. Všeobecné stromy kódujeme jediným konštruktorom $Gnd (x, ts) \equiv \frac{x}{ts}$ , kde $x$ je hodnota uložená vrchole a $ts$ je zoznam podstromov.

Konštruktor je zadefinovaný v module $Maux09b$ nasledovne:

\frac{x}{ts} = 1, x, ts

[CL] Diskriminácia na konštruktor všeobecných stromov. Pretože $Gnd$ je párovací konštruktor (viď [1, §15.1]), CL umožňuje nasledujúcu diskrimináciu s jedným prípadom:

F (\frac{x}{ts}) = \dots

Často budeme potrebovať skombinovať túto diskrimináciu so zoznamovou:

F_{L} (0) = \dots

F_{L} (\frac{x_{1}}{{ts}_{1}}, {ts}_{2}) = \dots

Kódy všeobecných stromov. Predikát $Lgt (ts)$ platí, ak $ts$ je zoznamom všeobecných stromov. Predikát $Gt (t)$ platí, ak $t$ je všeobecným stromom (presnejšie kódom všeobecného stromu).

Lgt (0)

Lgt (\frac{x_{1}}{{ts}_{1}}, {ts}_{2}) \leftarrow N (x_{1}) \land Lgt ({ts}_{1}) \land Lgt ({ts}_{2})

Gt (\frac{x}{ts}) \leftarrow N (x) \land Lgt (ts)

Platí

Gt (\frac{x}{ts}) \leftrightarrow \forall t (t &CLin; ts \to Gt (t))

[CL] Formáty výsledkov testov so všeobecnými stromami. Preskočte.

Results_lgt (0)

Results_lgt (OK (x =_{t} y), rs) \leftarrow Lgt (x) \land Lgt (y) \land Type (t) \land Results_lgt (rs)

Results_lgt (FAILED (x \neq_{t} y), rs) \leftarrow Lgt (x) \land Lgt (y) \land Type (t) \land Results_lgt (rs)

Results_gt (0)

Results_gt (OK (x =_{t} y), rs) \leftarrow Gt (x) \land Gt (y) \land Type (t) \land Results_gt (rs)

Results_gt (FAILED (x \neq_{t} y), rs) \leftarrow Gt (x) \land Gt (y) \land Type (t) \land Results_gt (rs)

Results_lgt_n (0)

Results_lgt_n (OK ((x, m) =_{t} (y, n)), rs) \leftarrow Lgt (x) \land N (m) \land Lgt (y) \land N (n) \land Type (t) \land Results_lgt_n (rs)

Results_lgt_n (FAILED ((x, m) \neq_{t} (y, n)), rs) \leftarrow Lgt (x) \land N (m) \land Lgt (y) \land N (n) \land Type (t) \land Results_lgt_n (rs)

[CL] Formátovanie kódov všeobecných stromov. Predikát $Gt$ môžeme použiť ako formát na zobrazenie čísel vo forme všeobecných stromov.

Úloha. Vyskúšajte nasledujúce dopyty (queries):

   223759839492 = t:Gt

   1,1,(1,2,0),(1,3,0),(1,4,0),0 = t:Gt

Predikát $Lgt$ môžeme podobne použiť na zobrazenie čísel vo forme zoznamov všeobecných stromov.

[CL] Formátovanie kódov všeobecných stromov so znakmi vo vrcholoch. Predikát $Gtc$ zadefinovaný v module $Maux09b$ môžeme použiť ako formát na zobrazenie čísel vo forme všeobecných stromov so znakmi vo vrcholoch (znak je v CL číslo menšie ako 256).

Úloha. Vyskúšajte nasledujúce dopyty (queries):

   1,102,(1,120,0),(1,121,0),0 = t:Gtc

   Gnd(102,Gnd(120,0),Gnd(121,0),0) = t:Gtc

Pomôcka na testovanie – syntaktické stromy aplikačných výrazov. V module $Maux09b$ je zadefinovaná funkcia $S2gtc (s)$ , ktorej hodnotou pre reťazec $s$ obsahujúci dobre uzátvorkovaný aplikačný výraz je syntaktický strom tohto výrazu. Aplikačný výraz je tvorený premennými a aplikáciami funkcií na aplikačné výrazy. Mená premenných a funkcií vo výrazoch sú jednoznakové. Tieto znaky sú uložené vo vrcholoch syntaktického stromu.

Stromy vytvorené funkciou $S2gtc$ budeme v tomto cvičení využívať na testovanie.

Úloha. Vyskúšajte nasledujúce dopyty (queries):

   'f(x,y)' = s:Str  & S2gtc(s) = t:Gtc

   'f(g(x,y),z,h(u))' = s:Str & S2gtc(s) = t:Gtc

   'f(g(x,y),z,h(u,p(a,b,c),w),q(d,r(e)))' = s:Str  & S2gtc(s) = t:Gtc

16.2. Programovanie so všeobecnými stromami

Úloha. Veľkosť všeobecného stromu. Zadefinujte funkciu $Sz (t) \equiv ∣ t ∣$ , ktorej hodnotou je veľkosť všeobecného stromu $t$ , čiže počet jeho vrcholov. Naprogramujte a použite všeobecnejšiu funkciu $Szl (ts) \equiv {∣ ts ∣}_{L}$ , ktorej hodnotou je súčet veľkostí všeobecných stromov v zozname $ts$ .

Postup, keď najprv naprogramujeme operáciu na zozname všeobecných stromov a potom ju špecializujeme na všeobecný strom, použijeme aj v ďalších úlohách.

Testovanie:

    Sz_test = r:Results

{∣ ts ∣}_{L} = ?

∣ t ∣ = ?

Sz_test = (∣ \frac{0}{0} ∣ =^{?} 1), (∣ S2gtc (f(x,y)) ∣ =^{?} 3), (∣ S2gtc (f(g(x,y),z,h(u))) ∣ =^{?} 7), (∣ S2gtc (f(g(x,y),z,h(u,p(a,b,c),w),q(d,r(e)))) ∣ =^{?} 16), 0

Úloha. Hĺbka všeobecného stromu. Zadefinujte funkciu $Dp (t) \equiv d (t)$ , ktorej hodnotou je hĺbka všeobecného stromu $t$ .

Testovanie:

    Dp_test = r:Results

d_{L} (ts) = ?

d (t) = ?

Dp_test = (d (\frac{0}{0}) =^{?} 1), (d S2gtc (f(x,y)) =^{?} 2), (d S2gtc (f(g(x,y),z,h(u))) =^{?} 3), (d S2gtc (f(g(x,y),z,h(u,p(a,b,c),w),q(d,r(e)))) =^{?} 4), 0

Úloha. Prvky všeobecného stromu. Zadefinujte predikát $Ingt (x, t) \equiv x \in t$ , ktorý platí, ak je číslo $x$ prvkom všeobecného stromu $t$ .

x \in_{L} (\frac{y_{1}}{{ts}_{1}}, {ts}_{2}) \leftrightarrow x = y_{1} \lor x \in_{L} {ts}_{1} \lor x \in_{L} {ts}_{2}

x \in \frac{y}{ts} \leftrightarrow x = y \lor x \in_{L} ts

Testovanie:

    Ingt_test = r:Results

x \in_{L} ts \leftarrow ?

x \in t \leftarrow ?

(x \in_{*} t) = 0 \leftarrow \neg x \in t

(x \in_{*} t) = 1 \leftarrow x \in t

Ingt_test = ((0 \in_{*} \frac{0}{0}) =^{?} 1), ((1 \in_{*} \frac{0}{0}) =^{?} 0), ((x \in_{*} S2gtc (f(x,y))) =^{?} 1), ((y \in_{*} S2gtc (f(x,y))) =^{?} 1), ((z \in_{*} S2gtc (f(x,y))) =^{?} 0), ((f \in_{*} S2gtc (f(g(x,y),z,h(u,p(a,b,c),w),q(d,r(e))))) =^{?} 1), ((q \in_{*} S2gtc (f(g(x,y),z,h(u,p(a,b,c),w),q(d,r(e))))) =^{?} 1), ((y \in_{*} S2gtc (f(g(x,y),z,h(u,p(a,b,c),w),q(d,r(e))))) =^{?} 1), ((d \in_{*} S2gtc (f(g(x,y),z,h(u,p(a,b,c),w),q(d,r(e))))) =^{?} 1), ((e \in_{*} S2gtc (f(g(x,y),z,h(u,p(a,b,c),w),q(d,r(e))))) =^{?} 1), ((k \in_{*} S2gtc (f(g(x,y),z,h(u,p(a,b,c),w),q(d,r(e))))) =^{?} 0), 0

Úloha. Zrkadlový obraz všeobecného stromu. Zadefinujte funkciu $Reflect (t)$ , ktorej hodnotou je zrkadlový obraz stromu $t$ .

Testovanie:

    Reflect_test = r:Results_gtc

{Reflect}_{L} (ts) = ?

Reflect (t) = ?

Reflect_test = (Reflect (\frac{x}{0}) =^{?} \frac{x}{0}), (Reflect S2gtc (f(x,y)) =^{?} S2gtc (f(y,x))), (Reflect S2gtc (f(g(x,y),z,h(u))) =^{?} S2gtc (f(h(u),z,g(y,x)))), (Reflect S2gtc (f(g(x,y),z,h(u,p(a,b,c),w),q(d,r(e)))) =^{?} S2gtc (f(q(r(e),d),h(w,p(c,b,a),u),z,g(y,x)))), 0

Úloha. Efektívny program pre zrkadlový obraz. Zadefinujte efektívnu verziu $Reflect_efficient (t)$ funkcie $Reflect (t)$ . Využite pomocnú funkciu ${Reflecta}_{L} (ts, rts)$ , ktorá má vlastnosť:

Lgt (ts) \to {Reflecta}_{L} (ts, rts) = {Reflect}_{L} (ts) \oplus rts

Pri definícii nepoužite zreťazenie, ale využite akumulátor $rts$ .

Testovanie:

    Reflectal_test = r:Results_lgtc
    Reflect_efficient_test = r:Results_gtc

{Reflecta}_{L} (ts, rts) = ?

Reflect_efficient (t) = ?

Reflectal_test = ({Reflecta}_{L} (0, (\frac{@}{0}, \frac{#}{0}, 0)) =^{?} (\frac{@}{0}, \frac{#}{0}, 0)), ({Reflecta}_{L} ((S2gtc (x), S2gtc (y), 0), (\frac{@}{0}, \frac{#}{0}, 0)) =^{?} (S2gtc (y), S2gtc (x), \frac{@}{0}, \frac{#}{0}, 0)), ({Reflecta}_{L} ((S2gtc (f(x,y)), 0), (\frac{@}{0}, \frac{#}{0}, 0)) =^{?} (S2gtc (f(y,x)), \frac{@}{0}, \frac{#}{0}, 0)), ({Reflecta}_{L} ((S2gtc (g(x,y)), S2gtc (z), S2gtc (h(u)), 0), (\frac{@}{0}, \frac{#}{0}, 0)) =^{?} (S2gtc (h(u)), S2gtc (z), S2gtc (g(y,x)), \frac{@}{0}, \frac{#}{0}, 0)), ({Reflecta}_{L} ((S2gtc (f(g(x,y),z,h(u))), S2gtc (f(g(x,y),z,h(u,p(a,b,c),w),q(d,r(e)))), 0), (\frac{@}{0}, \frac{#}{0}, 0)) =^{?} (S2gtc (f(q(r(e),d),h(w,p(c,b,a),u),z,g(y,x))), S2gtc (f(h(u),z,g(y,x))), \frac{@}{0}, \frac{#}{0}, 0)), 0

Reflect_efficient_test = (Reflect_efficient (\frac{x}{0}) =^{?} \frac{x}{0}), (Reflect_efficient S2gtc (f(x,y)) =^{?} S2gtc (f(y,x))), (Reflect_efficient S2gtc (f(g(x,y),z,h(u))) =^{?} S2gtc (f(h(u),z,g(y,x)))), (Reflect_efficient S2gtc (f(g(x,y),z,h(u,p(a,b,c),w),q(d,r(e)))) =^{?} S2gtc (f(q(r(e),d),h(w,p(c,b,a),u),z,g(y,x)))), 0

Úloha. Prechody všeobecnými stromami. Zadefinujte funkcie $Preorder (t)$ a $Postorder (t)$ . Hodnotou funkcie $Preorder (t)$ je zoznam prvkov stromu $t$ v poradí preorder. Zadanie pre funkciu $Postorder$ je analogické.

Testovanie:

    Preorder_test = r:Results_str
    Postorder_test = r:Results_str

{Preorder}_{L} (ts) = ?

Preorder (t) = ?

{Postorder}_{L} (ts) = ?

Postorder (t) = ?

Preorder_test = (Preorder (\frac{x}{0}) =^{?} x), (Preorder S2gtc (f(x,y)) =^{?} fxy), (Preorder S2gtc (f(g(x,y),z,h(u))) =^{?} fgxyzhu), (Preorder S2gtc (f(g(x,y),z,h(u,p(a,b,c),w),q(d,r(e)))) =^{?} fgxyzhupabcwqdre), 0

Postorder_test = (Postorder (\frac{x}{0}) =^{?} x), (Postorder S2gtc (f(x,y)) =^{?} xyf), (Postorder S2gtc (f(g(x,y),z,h(u))) =^{?} xygzuhf), (Postorder S2gtc (f(g(x,y),z,h(u,p(a,b,c),w),q(d,r(e)))) =^{?} xygzuabcpwhderqf), 0

Úloha. Efektívne prechody. Zadefinujte efektívne verzie funkcií $Preorder$ a $Postorder$ pomocou funkcií $Preorderal$ a $Postorderal$ , ktoré majú vlastnosti

Lgt (ts) \to {Preordera}_{L} (ts, as) = {Preorder}_{L} (ts) \oplus as

Lgt (ts) \to {Postordera}_{L} (ts, as) = {Postorder}_{L} (ts) \oplus as

Pri definíciách nepoužite zreťazenie, ale využite akumulátor $as$ .

Testovanie:

    Preorderal_test = r:Results_str
    Preorder_efficient_test = r:Results_str
    Postorderal_test = r:Results_str
    Postorder_efficient_test = r:Results_str

{Preordera}_{L} (ts, as) = ?

Preorder_efficient (t) = ?

{Postordera}_{L} (ts, as) = ?

Postorder_efficient (t) = ?

Preorderal_test = ({Preordera}_{L} (0, @#) =^{?} @#), ({Preordera}_{L} ((S2gtc (x), S2gtc (y), 0), @#) =^{?} xy@#), ({Preordera}_{L} ((S2gtc (f(x,y)), 0), @#) =^{?} fxy@#), ({Preordera}_{L} ((S2gtc (g(x,y)), S2gtc (z), S2gtc (h(u)), 0), @#) =^{?} gxyzhu@#), ({Preordera}_{L} ((S2gtc (f(g(x,y),z,h(u))), S2gtc (f(g(x,y),z,h(u,p(a,b,c),w),q(d,r(e)))), 0), @#) =^{?} fgxyzhufgxyzhupabcwqdre@#), 0

Preorder_efficient_test = (Preorder_efficient (\frac{x}{0}) =^{?} x), (Preorder_efficient S2gtc (f(x,y)) =^{?} fxy), (Preorder_efficient S2gtc (f(g(x,y),z,h(u))) =^{?} fgxyzhu), (Preorder_efficient S2gtc (f(g(x,y),z,h(u,p(a,b,c),w),q(d,r(e)))) =^{?} fgxyzhupabcwqdre), 0

Postorderal_test = ({Postordera}_{L} (0, @#) =^{?} @#), ({Postordera}_{L} ((S2gtc (x), S2gtc (y), 0), @#) =^{?} xy@#), ({Postordera}_{L} ((S2gtc (f(x,y)), 0), @#) =^{?} xyf@#), ({Postordera}_{L} ((S2gtc (g(x,y)), S2gtc (z), S2gtc (h(u)), 0), @#) =^{?} xygzuh@#), ({Postordera}_{L} ((S2gtc (f(g(x,y),z,h(u))), S2gtc (f(g(x,y),z,h(u,p(a,b,c),w),q(d,r(e)))), 0), @#) =^{?} xygzuhfxygzuabcpwhderqf@#), 0

Postorder_efficient_test = (Postorder_efficient (\frac{x}{0}) =^{?} x), (Postorder_efficient S2gtc (f(x,y)) =^{?} xyf), (Postorder_efficient S2gtc (f(g(x,y),z,h(u))) =^{?} xygzuhf), (Postorder_efficient S2gtc (f(g(x,y),z,h(u,p(a,b,c),w),q(d,r(e)))) =^{?} xygzuabcpwhderqf), 0

Izomorfné všeobecné stromy. Pre dané všeobecné stromy $t_{1}$ a $t_{2}$ platí predikát $t_{1} ≃ t_{2}$ práve vtedy, keď sú tieto stromy izomorfné, teda majú rovnaký tvar, ale nie nutne rovnaké hodnoty uložené vo vrcholoch.

0 ≃_{L} 0

\frac{x_{11}}{{ts}_{11}}, {ts}_{12} ≃_{L} \frac{x_{21}}{{ts}_{21}}, {ts}_{22} \leftarrow {ts}_{11} ≃_{L} {ts}_{21} \land {ts}_{12} ≃_{L} {ts}_{22}

\frac{x_{1}}{{ts}_{1}} ≃ \frac{x_{2}}{{ts}_{2}} \leftarrow {ts}_{1} ≃_{L} {ts}_{2}

Predikát ${ts}_{1} ≃_{L} {ts}_{2}$ je reláciou ekvivalencie na zoznamoch všeobecných stromov. Predikát $t_{1} ≃ t_{2}$ je reláciou ekvivalencie na všeobecných stromoch. Navyše platí

Lgt ({ts}_{1}) \land {ts}_{1} ≃_{L} {ts}_{2} \to Lgt ({ts}_{2})

{ts}_{1} ≃_{L} {ts}_{2} \to {∣ {ts}_{1} ∣}_{L} = {∣ {ts}_{2} ∣}_{L}

{ts}_{1} ≃_{L} {ts}_{2} \to d_{L} ({ts}_{1}) = d_{L} ({ts}_{2})

a

Gt (t_{1}) \land t_{1} ≃ t_{2} \to Gt (t_{2})

t_{1} ≃ t_{2} \to ∣ t_{1} ∣ = ∣ t_{2} ∣

t_{1} ≃ t_{2} \to d (t_{1}) = d (t_{2})

Číslovanie vrcholov vo všeobecných stromoch. V nasledujúcich úlohách budeme číslovať vrcholy vo všeobecných stromoch. To znamená, že pre daný strom vytvoríme izomorfný strom, v ktorom sú hodnoty vo vrcholoch nahradené číslami $0, 1, 2, \dots$ v predpísanom poradí.

Úloha. Zadefinujte funkciu $Num_pre (t)$ , ktorá očísluje vrcholy všeobecného stromu $t$ tak, aby pri výpise v poradí preorder tvorili súvislý interval prirodzených čísel $0, 1, 2, \dots$ .

Špecifikácia:

Gt (t) \to Num_pre (t) ≃ t

Gt (t) \to Preorder Num_pre (t) = [0 .. ∣ t ∣)

Návod. Zadefinujte a použite pomocnú funkciu $Num_prel (ts, m)$ , ktorá očísluje vrcholy stromov v zozname $ts$ tak, aby pri výpise v poradí preorder tvorili súvislý interval prirodzených čísel $m, m + 1, m + 2, \dots$ . Využite funkciu $∣ t ∣$ alebo ${∣ ts ∣}_{L}$ (podľa uváženia).

Špecifikácia:

Lgt (ts) \to Num_prel (ts, m) ≃_{L} ts

Lgt (ts) \to {Preorder}_{L} Num_prel (ts, m) = [m .. m + {∣ ts ∣}_{L})

Testovanie:

    Num_prel_test = r:Results_lgt
    Num_pre_test = r:Results_gt

{Num_pre}_{L} (ts, m) = ?

Num_pre (t) = ?

Num_prel_test = ({Num_pre}_{L} (0, 8) =^{?} 0), ({Num_pre}_{L} ((S2gtc (x), S2gtc (y), 0), 3) =^{?} (\frac{3}{0}, \frac{4}{0}, 0)), ({Num_pre}_{L} ((S2gtc (f(x,y)), 0), 3) =^{?} (\frac{3}{\frac{4}{0}, \frac{5}{0}, 0}, 0)), ({Num_pre}_{L} ((S2gtc (g(x,y)), S2gtc (z), S2gtc (h(u)), 0), 3) =^{?} (\frac{3}{\frac{4}{0}, \frac{5}{0}, 0}, \frac{6}{0}, \frac{7}{\frac{8}{0}, 0}, 0)), 0

Num_pre_test = (Num_pre (\frac{q}{0}) =^{?} \frac{0}{0}), (Num_pre S2gtc (f(x,y)) =^{?} \frac{0}{\frac{1}{0}, \frac{2}{0}, 0}), (Num_pre S2gtc (f(g(x,y),z,h(u))) =^{?} \frac{0}{\frac{1}{\frac{2}{0}, \frac{3}{0}, 0}, \frac{4}{0}, \frac{5}{\frac{6}{0}, 0}, 0}), 0

Úloha. Analogicky k predchádzajúcej funkcii $Num_pre$ zadefinujte funkciu $Num_post (t)$ , ktorá spĺňa špecifikáciu:

Gt (t) \to Num_post (t) ≃ t

Gt (t) \to Postorder Num_post (t) = [0 .. ∣ t ∣)

Testovanie:

    Num_postl_test = r:Results_lgt
    Num_post_test = r:Results_gt

{Num_post}_{L} (ts, m) = ?

Num_post (t) = ?

Num_postl_test = ({Num_post}_{L} (0, 8) =^{?} 0), ({Num_post}_{L} ((S2gtc (x), S2gtc (y), 0), 3) =^{?} (\frac{3}{0}, \frac{4}{0}, 0)), ({Num_post}_{L} ((S2gtc (f(x,y)), 0), 3) =^{?} (\frac{5}{\frac{3}{0}, \frac{4}{0}, 0}, 0)), ({Num_post}_{L} ((S2gtc (g(x,y)), S2gtc (z), S2gtc (h(u)), 0), 3) =^{?} (\frac{5}{\frac{3}{0}, \frac{4}{0}, 0}, \frac{6}{0}, \frac{8}{\frac{7}{0}, 0}, 0)), 0

Num_post_test = (Num_post (\frac{q}{0}) =^{?} \frac{0}{0}), (Num_post S2gtc (f(x,y)) =^{?} \frac{2}{\frac{0}{0}, \frac{1}{0}, 0}), (Num_post S2gtc (f(g(x,y),z,h(u))) =^{?} \frac{6}{\frac{2}{\frac{0}{0}, \frac{1}{0}, 0}, \frac{3}{0}, \frac{5}{\frac{4}{0}, 0}, 0}), 0

PRÉMIOVÁ DOMÁCA ÚLOHA du09. (1+1 = 2 body)

Termín odovzdania: nedeľa 27. 4. 2014 23:59:59

Pravidlá pre prémiové domáce úlohy nájdete na http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/#pdu.

Časť a) sa nachádza v súbore ex09a.

b) (1 bod) Zadefinujte funkciu ${Num_pre}_{1} (t)$ , ktorej hodnota je rovnaká ako $Num_pre (t)$ , teda spĺňa špecifikáciu:

Gt (t) \to {Num_pre}_{1} (t) ≃ t

Gt (t) \to Preorder {Num_pre}_{1} (t) = [0 .. ∣ t ∣)

Nepoužite funkciu veľkosť stromu $∣ t ∣$ ani veľkosť zoznamu stromov ${∣ ts ∣}_{L}$ !

Návod. Využite pomocnú funkciu ${Num_prel}_{1} (ts, m)$ s vlastnosťou:

Lgt (ts) \to \exists {ts}_{1} \exists m_{1} ({Num_prel}_{1} (ts, m) = ({ts}_{1}, m_{1}) \land Lgt ({ts}_{1}) \land m_{1} = m + {∣ ts ∣}_{L} \land ts ≃_{L} {ts}_{1} \land {Preorder}_{L} ({ts}_{1}) = [m .. m_{1}))

Funkcia teda súčasne vytvorí očíslovaný les ${ts}_{1}$ aj vypočíta prvé nepoužité číslo $m_{1}$ a vráti dvojicu obsahujúcu oba tieto výsledky.

Samozrejme, ani v tejto funkcii nepoužite $∣ t ∣$ ani ${∣ ts ∣}_{L}$ .

Testovanie.

    Num_prel1_test = r:Results_lgt_n
    Num_pre1_test = r:Results_gt

{Num_prel}_{1} (ts, m) = ?, ?

{Num_pre}_{1} (t) = ?

Num_prel1_test = ({Num_prel}_{1} (0, 8) =^{?} (0, 8)), ({Num_prel}_{1} ((S2gtc (x), S2gtc (y), 0), 3) =^{?} ((\frac{3}{0}, \frac{4}{0}, 0), 5)), ({Num_prel}_{1} ((S2gtc (f(x,y)), 0), 3) =^{?} ((\frac{3}{\frac{4}{0}, \frac{5}{0}, 0}, 0), 6)), ({Num_prel}_{1} ((S2gtc (g(x,y)), S2gtc (z), S2gtc (h(u)), 0), 3) =^{?} ((\frac{3}{\frac{4}{0}, \frac{5}{0}, 0}, \frac{6}{0}, \frac{7}{\frac{8}{0}, 0}, 0), 9)), 0

Num_pre1_test = ({Num_pre}_{1} (\frac{q}{0}) =^{?} \frac{0}{0}), ({Num_pre}_{1} S2gtc (f(x,y)) =^{?} \frac{0}{\frac{1}{0}, \frac{2}{0}, 0}), ({Num_pre}_{1} S2gtc (f(g(x,y),z,h(u))) =^{?} \frac{0}{\frac{1}{\frac{2}{0}, \frac{3}{0}, 0}, \frac{4}{0}, \frac{5}{\frac{6}{0}, 0}, 0}), 0