Clausal Language (ver. 5.81.20, by P.J. Voda, J. Komara, J. Kluka)

6. CVIČENIE (DOMÁCA ÚLOHA) Z PREDMETU ÚVOD DO DEKLARATÍVNEHO PROGRAMOVANIA LS 2013/2014

ČASŤ B

http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/ex/ex06.zip

Dátum: 27. 3. 2014

Odporúčaná verzia CL: 5.81.20

WWW stránka predmetu: http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/

Kontakt: udp(zavináč)lists.dai.fmph.uniba.sk

Úvodná poznámka. Toto cvičenie je venované triedeniu zoznamov (ex06a) a reprezentácii konečných množín usporiadanými zoznamami bez opakovania (ex06b).

Literatúra.

[1] J. Kľuka. Prednášky z Úvodu do deklaratívneho programovania LS 2013/2014.

http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/udp-prednasky-2014.pdf

[2] D. Guller. Poznámky k prednáškam z CL.

[3] J. Komara and P. J. Voda. Metamathematics of Computer Programming. 2001.

Poznámka. Nadpisy sú číslované podľa [1].

Preskočte nasledujúce komponenty po nadpis „CVIČENIE“.

? = 0

? \leftrightarrow ⊥

(x) = x

C V I Č E N I E

13. ZOZNAMOVÁ REPREZENTÁCIA KONEČNÝCH MNOŽÍN

Reprezentácia množín usporiadanými zoznamami bez opakovania. Konečné množiny môžeme jednoducho reprezentovať zoznamami. Pri množinách je dôležitá iba príslušnosť prvku do množiny. Počet výskytov prvku ani poradie prvkov nie sú podstatné. Množiny môžeme preto reprezentovať usporiadanými zoznamami bez opakovania prvkov. Operácie na dvoch množinách potom dokážeme naprogramovať tak, aby počet krokov potrebných na ich vykonanie lineárne závisel od súčtu počtu prvkov v množinách.

[CL] Trichotomická diskriminácia. V nasledujúcich úlohách využijeme trichotomickú diskrimináciu:

\dots \leftarrow s < t

\dots \leftarrow s = t

\dots \leftarrow s > t

Úloha. Zadefinujte predikát $Set (xs)$ , ktorý platí, ak $xs$ je zoznam, ktorý reprezentuje množinu, teda usporiadaný a bez opakovania.

Definícia je podobná predikátu $Ord$ z ex08a.

Špecifikácia:

Set (xs) \leftrightarrow \forall ys \forall a \forall b \forall zs (xs = ys \oplus (a, b, zs) \to a < b)

Testovanie:

    Set_test = r:Results

Set (xs) \leftarrow ?

Set_(xs) = 1 \leftarrow Set (xs)

Set_(xs) = 0 \leftarrow \neg Set (xs)

Set_test = (Set_(0) =^{?} 1), (Set_(0, 0) =^{?} 1), (Set_(0, 1, 0) =^{?} 1), (Set_(1, 1, 0) =^{?} 0), (Set_(0, 0, 1, 0) =^{?} 0), (Set_(0, 1, 1, 0) =^{?} 0), (Set_(0, 1, 2, 0) =^{?} 1), (Set_(4, 5, 4, 0) =^{?} 0), (Set_(0, 2, 3, 4, 0) =^{?} 1), (Set_(4, 3, 2, 0, 0) =^{?} 0), (Set_(0, 2, 1, 3, 0) =^{?} 0), 0

Úloha. Zadefinujte predikát $Member (a, xs) \equiv (a \in xs)$ , ktorý platí, ak je $a$ prvkom množiny $xs$ .

Napríklad $4 \in 2, 4, 6, 8, 0$ a $\neg (5 \in 2, 4, 6, 8, 0)$ .

Využite (ale netestujte!), že $xs$ je množina. Ani v jednom z uvedených príkladov výpočet nesmie prejsť celý zoznam $2, 4, 6, 8, 0$ .

Špecifikácia:

Set (xs) \to a \in xs \leftrightarrow a &CLin; xs

Testovanie:

    Member_test = r:Results

a \in xs \leftarrow ?

(a \in_{*} xs) = 1 \leftarrow a \in xs

(a \in_{*} xs) = 0 \leftarrow \neg (a \in xs)

Member_test = ((0 \in_{*} 0) =^{?} 0), ((1 \in_{*} 0) =^{?} 0), ((0 \in_{*} 0, 0) =^{?} 1), ((1 \in_{*} 0, 0) =^{?} 0), ((0 \in_{*} 0, 2, 0) =^{?} 1), ((1 \in_{*} 0, 2, 0) =^{?} 0), ((2 \in_{*} 0, 2, 0) =^{?} 1), ((3 \in_{*} 0, 2, 0) =^{?} 0), ((4 \in_{*} 2, 4, 6, 8, 0) =^{?} 1), ((5 \in_{*} 2, 4, 6, 8, 0) =^{?} 0), 0

Extenzionalita. Všimnite si, že reprezentácia množín usporiadanými zoznamami bez opakovania je jednoznačná a teda má vlastnosť extenzionality: Množiny sú si rovné práve vtedy, keď majú tie isté prvky.

Set (xs) \land Set (ys) \to xs = ys \leftrightarrow \forall a (a \in xs \leftrightarrow a \in ys)

Úloha. Zadefinujte funkciu $Insert (xs, a) \equiv xs \cup {a}$ , ktorá vloží prvok $a$ do množiny $xs$ , teda vráti množinu, ktorá obsahuje všetky prvky $xs$ a prvok $a$ .

Napríklad $(2, 4, 6, 8, 0) \cup {5} = 2, 4, 5, 6, 8, 0$ a $(2, 4, 6, 8, 0) \cup {6} = 2, 4, 6, 8, 0$ .

Pozor na poradie argumentov a na fakt, že v množinách sa prvky neopakujú a sú usporiadané. Nepoužite žiadne pomocné funkcie ani predikáty (vrátane $Set$ a $Member$ ).

Špecifikácia:

Set (xs) \to Set (xs \cup {a})

Set (xs) \to \forall b (b \in xs \cup {a} \leftrightarrow b = a \lor b \in xs)

Testovanie:

    Insert_test = r:Results

xs \cup {a} = ?

Insert_test = (0 \cup {0} =^{?} (0, 0)), ((1, 0) \cup {0} =^{?} (0, 1, 0)), ((1, 0) \cup {2} =^{?} (1, 2, 0)), ((2, 0) \cup {2} =^{?} (2, 0)), ((2, 4, 6, 8, 0) \cup {5} =^{?} (2, 4, 5, 6, 8, 0)), ((2, 4, 6, 8, 0) \cup {6} =^{?} (2, 4, 6, 8, 0)), ((2, 4, 6, 8, 0) \cup {10} =^{?} (2, 4, 6, 8, 10, 0)), 0

Úloha. Zadefinujte funkciu $Delete (xs, a) \equiv xs ∖ {a}$ , ktorá odstráni prvok $a$ z množiny $xs$ , teda vráti množinu obsahujúcu všetky prvky $xs$ okrem $a$ .

Napríklad $(2, 4, 6, 8, 0) ∖ {6} = 2, 4, 8, 0$ a $(2, 4, 6, 8, 0) ∖ {5} = 2, 4, 6, 8, 0$ .

Pozor na poradie argumentov a na fakt, že v množinách sa prvky neopakujú a sú usporiadané. Nepoužite žiadne pomocné funkcie ani predikáty (vrátane $Set$ a $Member$ ). Ani v jednom z uvedených príkladov výpočet nesmie prejsť celý zoznam $2, 4, 6, 8, 0$ .

Špecifikácia:

Set (xs) \to Set (xs ∖ {a})

Set (xs) \to \forall b (b \in xs ∖ {a} \leftrightarrow b \neq a \land b \in xs)

Testovanie:

    Delete_test = r:Results

xs ∖ {a} = ?

Delete_test = (0 ∖ {0} =^{?} 0), ((1, 0) ∖ {0} =^{?} (1, 0)), ((1, 0) ∖ {2} =^{?} (1, 0)), ((2, 4, 6, 8, 0) ∖ {2} =^{?} (4, 6, 8, 0)), ((2, 4, 6, 8, 0) ∖ {6} =^{?} (2, 4, 8, 0)), ((2, 4, 6, 8, 0) ∖ {5} =^{?} (2, 4, 6, 8, 0)), ((2, 4, 6, 8, 0) ∖ {10} =^{?} (2, 4, 6, 8, 0)), 0

Úloha. Zadefinujte funkciu $Union (xs, ys) \equiv xs \cup ys$ , ktorá zjednotí množiny $xs$ a $ys$ .

Napríklad $(2, 4, 8, 9, 10, 0) \cup (1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 0) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 0$ .

Využite (ale netestujte!), že $xs$ a $ys$ sú množiny. Algoritmus pre zjednotenie je podobný zlúčeniu utriedených zoznamov, vo výsledku sa však žiadny prvok nesmie opakovať. Nepoužite žiadne pomocné funkcie ani predikáty (vrátane $Set$ a $Member$ ).

Špecifikácia:

Set (xs) \land Set (ys) \to Set (xs \cup ys)

Set (xs) \land Set (ys) \to \forall a (a \in xs \cup ys \leftrightarrow a \in xs \lor a \in ys)

Testovanie:

    Union_test = r:Results

xs \cup ys = ?

Union_test = (0 \cup (3, 6, 0) =^{?} (3, 6, 0)), ((0, 9, 0) \cup 0 =^{?} (0, 9, 0)), ((4, 6, 0) \cup (4, 5, 0) =^{?} (4, 5, 6, 0)), ((4, 5, 0) \cup (4, 6, 0) =^{?} (4, 5, 6, 0)), ((0, 9, 0) \cup (3, 6, 0) =^{?} (0, 3, 6, 9, 0)), ((3, 6, 0) \cup (0, 9, 0) =^{?} (0, 3, 6, 9, 0)), ((2, 4, 8, 9, 10, 0) \cup (1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 0) =^{?} (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 0)), ((1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 0) \cup (2, 4, 8, 9, 10, 0) =^{?} (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 0)), 0

Úloha. Zadefinujte funkciu $Inter (xs, ys) \equiv xs \cap ys$ , ktorá vypočíta prienik množín $xs$ a $ys$ .

Napríklad $(2, 4, 8, 9, 10, 0) \cap (1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 0) = 2, 9, 0$ .

Využite (ale netestujte!), že $xs$ a $ys$ sú množiny. Použite podobný algoritmus ako pre zjednotenie. Nepoužite žiadne pomocné funkcie ani predikáty (vrátane $Set$ a $Member$ ).

Špecifikácia:

Set (xs) \land Set (ys) \to Set (xs \cap ys)

Set (xs) \land Set (ys) \to \forall a (a \in xs \cap ys \leftrightarrow a \in xs \land a \in ys)

Testovanie:

    Inter_test = r:Results

xs \cap ys = ?

Inter_test = (0 \cap (3, 6, 0) =^{?} 0), ((0, 9, 0) \cap 0 =^{?} 0), ((4, 6, 0) \cap (4, 5, 0) =^{?} (4, 0)), ((4, 5, 0) \cap (4, 6, 0) =^{?} (4, 0)), ((0, 1, 9, 0) \cap (0, 3, 6, 9, 0) =^{?} (0, 9, 0)), ((0, 3, 6, 9, 0) \cap (0, 1, 9, 0) =^{?} (0, 9, 0)), ((2, 4, 8, 9, 10, 0) \cap (1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 0) =^{?} (2, 9, 0)), ((1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 0) \cap (2, 4, 8, 9, 10, 0) =^{?} (2, 9, 0)), 0

Úloha. Zadefinujte funkciu $Diff (xs, ys) \equiv xs ∖ ys$ , ktorá vypočíta rozdiel množín $xs$ a $ys$ .

Napríklad $(2, 4, 8, 9, 10, 0) ∖ (1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 0) = 4, 8, 10, 0$ .

Platia rovnaké obmedzenia a odporúčania ako v predošlých úlohách.

Špecifikácia:

Set (xs) \land Set (ys) \to Set (xs ∖ ys)

Set (xs) \land Set (ys) \to \forall a (a \in xs ∖ ys \leftrightarrow a \in xs \land \neg (a \in ys))

Testovanie:

    Diff_test = r:Results

xs ∖ ys = ?

Diff_test = (0 ∖ (3, 6, 0) =^{?} 0), ((0, 9, 0) ∖ 0 =^{?} (0, 9, 0)), ((4, 6, 0) ∖ (4, 5, 0) =^{?} (6, 0)), ((4, 5, 0) ∖ (4, 6, 0) =^{?} (5, 0)), ((0, 1, 9, 0) ∖ (0, 3, 6, 9, 0) =^{?} (1, 0)), ((0, 3, 6, 9, 0) ∖ (0, 1, 9, 0) =^{?} (3, 6, 0)), ((2, 4, 8, 9, 10, 0) ∖ (1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 0) =^{?} (4, 8, 10, 0)), ((1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 0) ∖ (2, 4, 8, 9, 10, 0) =^{?} (1, 3, 5, 6, 7, 0)), 0

Úloha. Zadefinujte funkciu $Sdiff (xs, ys) \equiv xs ▵ ys$ , ktorá vypočíta symetrický rozdiel množín $xs$ a $ys$ .

Napríklad $(2, 4, 8, 9, 10, 0) ▵ (1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 0) = 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 0$ .

Platia rovnaké obmedzenia a odporúčania ako v predošlých úlohách.

Špecifikácia:

Set (xs) \land Set (ys) \to Set (xs ▵ ys)

Set (xs) \land Set (ys) \to \forall a (a \in xs ▵ ys \leftrightarrow a \in xs \land \neg (a \in ys) \lor \neg (a \in xs) \land a \in ys)

Testovanie:

    Sdiff_test = r:Results

xs ▵ ys = ?

Sdiff_test = (0 ▵ (3, 6, 0) =^{?} (3, 6, 0)), ((0, 9, 0) ▵ 0 =^{?} (0, 9, 0)), ((4, 6, 0) ▵ (4, 5, 0) =^{?} (5, 6, 0)), ((4, 5, 0) ▵ (4, 6, 0) =^{?} (5, 6, 0)), ((0, 1, 9, 0) ▵ (0, 3, 6, 9, 0) =^{?} (1, 3, 6, 0)), ((0, 3, 6, 9, 0) ▵ (0, 1, 9, 0) =^{?} (1, 3, 6, 0)), ((2, 4, 8, 9, 10, 0) ▵ (1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 0) =^{?} (1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 0)), ((1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 0) ▵ (2, 4, 8, 9, 10, 0) =^{?} (1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 0)), 0

Úloha. Zadefinujte predikát $Subset (xs, ys) \equiv (xs \subseteq ys)$ , ktorý platí, ak $xs$ je podmnožinou $ys$ .

Napríklad $2, 4, 8, 9, 10, 0 \subseteq 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 0$ a $\neg (2, 4, 8, 9, 10, 0 \subseteq 2, 4, 6, 8, 10, 0)$ .

Platia rovnaké obmedzenia a odporúčania ako v predošlých úlohách.

Špecifikácia:

Set (xs) \land Set (ys) \to xs \subseteq ys \leftrightarrow \forall a (a \in xs \to a \in ys)

Testovanie:

    Subset_test = r:Results

xs \subseteq ys \leftarrow ?

(a \subseteq_{*} xs) = 1 \leftarrow a \subseteq xs

(a \subseteq_{*} xs) = 0 \leftarrow \neg (a \subseteq xs)

Subset_test = ((0 \subseteq_{*} 0) =^{?} 1), ((0 \subseteq_{*} 1, 3, 5, 0) =^{?} 1), ((0, 0 \subseteq_{*} 0) =^{?} 0), ((5, 0 \subseteq_{*} 0) =^{?} 0), ((5, 0 \subseteq_{*} 3, 5, 7, 0) =^{?} 1), ((6, 0 \subseteq_{*} 3, 5, 7, 0) =^{?} 0), ((2, 4, 8, 9, 10, 0 \subseteq_{*} 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 0) =^{?} 1), ((1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 0 \subseteq_{*} 2, 4, 8, 9, 10, 0) =^{?} 0), ((2, 4, 8, 9, 10, 0 \subseteq_{*} 2, 4, 6, 8, 10, 0) =^{?} 0), ((2, 4, 6, 8, 10, 0 \subseteq_{*} 2, 4, 8, 9, 10, 0) =^{?} 0), ((2, 4, 6, 8, 10, 0 \subseteq_{*} 2, 4, 6, 8, 10, 0) =^{?} 1), 0

Prémiová domáca úloha du06. (1+1+1+(1+1)+1 = 6 bodov)

Pravidlá pre prémiové domáce úlohy nájdete na http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/#pdu

Jednotlivé časti úlohy budeme hodnotiť samostatne.

Časti a) a b) sa nachádzajú v súbore ex06a.

Definícia. Dvojica $(x_{1}, y_{1})$ je lexikograficky menšia ako dvojica $(x_{2}, y_{2})$ práve vtedy, keď $x_{1} < x_{2}$ alebo $x_{1} = x_{2}$ a $y_{1} < y_{2}$ .

Formálne túto vlastnosť vyjadríme predikátom $Ltlex (p, q) \equiv p <_{lex} q$ s nasledujúcou klauzálnou definíciou.

(x_{1}, y_{1}) <_{lex} (x_{2}, y_{2}) \leftarrow x_{1} < x_{2}

(x_{1}, y_{1}) <_{lex} (x_{2}, y_{2}) \leftarrow x_{1} = x_{2} \land y_{1} < y_{2}

Definícia. Konečná relácia je zoznam dvojíc, ktoré sú usporiadané lexikograficky.

Napríklad zoznam

R_{1} = (0, 3), (1, 2), (2, 5), (2, 7), (2, 12), (4, 4), (4, 13), (5, 7), (5, 11), 0

je konečnou reláciou, ale zoznamy

xs = (0, 3), (1, 2), (2, 7), 0, (4, 12), (5, 11), 0

ys = (0, 3), (2, 7), (1, 2), (3, 5), 0

zs = (0, 3), (1, 9), (1, 7), (2, 13), 0

z rôznych dôvodov (akých?) nie sú konečnými reláciami.

Konečné relácie sú špeciálnym typom asociatívnych zoznamov z prémiovej domácej úlohy du05 c).

Predikát $Rel (r)$ platí práve vtedy, keď $r$ je konečná relácia.

Rel (0)

Rel ((x_{1}, y_{1}), 0)

Rel ((x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), r) \leftarrow (x_{1}, y_{1}) <_{lex} (x_{2}, y_{2}) \land Rel ((x_{2}, y_{2}), r)

R_{1} = (0, 3), (1, 2), (2, 5), (2, 7), (2, 12), (4, 4), (4, 13), (5, 7), (5, 11), 0

Definícia. Karteziánskym súčinom konečných množín $xs$ a $ys$ nazveme konečnú reláciu $xs \times ys$ , ktorá obsahuje dvojicu $(x, y)$ práve vtedy, keď $x$ je prvkom $xs$ a $y$ je prvkom $ys$ .

Set (xs) \land Set (ys) \to Rel (xs \times ys)

Set (xs) \land Set (ys) \to (x, y) &CLin; xs \times ys \leftrightarrow x \in xs \land y \in ys

c) (1 bod) Naprogramujte funkciu $Cartesian (xs, ys) \equiv xs \times ys$ , ktorej hodnotou je karteziánsky súčin konečných množín $xs$ a $ys$ .

Využite, ale netestujte, že $xs$ a $ys$ sú konečné množiny. Budete potrebovať pomocnú funkciu a zreťazenie.

xs \times ys = ?

Definícia. Obrazom konečnej množiny $xs$ v konečnej relácii $r$ je konečná množina $r [xs]$ , ktorá pre každý prvok $x \in xs$ obsahuje práve tie prvky $y$ , pre ktoré dvojica $(x, y)$ patrí do $r$ .

Rel (r) \land Set (xs) \to Set (r [xs])

Rel (r) \land Set (xs) \to y \in r [xs] \leftrightarrow x \in xs \land (x, y) &CLin; r

Napríklad obrazom konečnej množiny $2, 3, 5, 0$ vo vyššie uvedenej konečnej relácii $R_{1}$ je množina $5, 7, 11, 12, 0$ . Obrazom množín $xs = 3, 0$ , $ys = 9, 15, 222, 0$ , $zs = 0$ v relácii $R_{1}$ je $0$ .

d) (1+1 bod) Zadefinujte funkciu $Image (r, xs) \equiv r [xs]$ , ktorej hodnotou je obraz konečnej množiny $xs$ v relácii $r$ . Využite, ale netestujte, že $r$ je konečná relácia a $xs$ je konečná množina. (1 bod)

Budete potrebovať pomocnú funkciu (obraz prvku) a niektorú z množinových operácií.

Za maximálne využitie vlastností množín a relácií na skrátenie výpočtu dostanete ďalší 1 bod. Vyžaduje si tupling v pomocnej funkcii alebo triedenie.

r [xs] = ?

Definícia. Zložením konečných relácií $r$ a $s$ je konečná relácia $r \circ s$ , ktorá obsahuje dvojicu $(x, z)$ práve vtedy, keď pre nejaký prvok $y$ relácia $r$ obsahuje dvojicu $(x, y)$ a relácia $s$ obsahuje $(y, z)$ .

Rel (r) \land Rel (s) \to Rel (r \circ s)

(x, z) &CLin; r \circ s \leftrightarrow \exists y ((x, y) &CLin; r \land (y, z) &CLin; s)

Napríklad

R_{1} = (0, 3), (1, 2), (2, 5), (2, 7), (2, 12), (4, 4), (4, 13), (5, 7), (5, 11), 0

R_{2} = (0, 1), (1, 0), (2, 3), (3, 2), (3, 8), (4, 5), (5, 4), (6, 7), (7, 6), 0

R_{1} \circ R_{2} = (0, 2), (0, 8), (1, 3), (2, 4), (2, 6), (4, 5), (5, 6), 0

e) (1 bod) Zadefinujte funkciu $Composition (r, s) \equiv r \circ s$ , ktorej hodnotou je zloženie konečných relácií $r$ a $s$ .

Využite, ale netestujte, že $r$ a $s$ sú konečné relácie. Využite obraz, karteziánsky súčin a zreťazenie.

r \circ s = ?

R_{2} = (0, 1), (1, 0), (2, 3), (3, 2), (3, 8), (4, 5), (5, 4), (6, 7), (7, 6), 0