Clausal Language (ver. 5.81.20, by P.J. Voda, J. Komara, J. Kluka)

4. CVIČENIE Z PREDMETU ÚVOD DO DEKLARATÍVNEHO PROGRAMOVANIA LS 2013/2014

ČASŤ B

http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/ex/ex04.zip

Dátum: 11. a 12. 3. 2014

Odporúčaná verzia CL: 5.81.20

WWW stránka predmetu: http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/

Kontakt: udp(zavináč)lists.dai.fmph.uniba.sk

Úvodná poznámka. Toto cvičenie je venované aritmetickým operáciám na binárnom zápise čísel (ex04a) a tuplingu (ex04b).

Literatúra.

[1] J. Kľuka. Prednášky z Úvodu do deklaratívneho programovania LS 2013/2014.

http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/udp-prednasky-2014.pdf

[2] D. Guller. Poznámky k prednáškam z CL.

[3] J. Komara and P. J. Voda. Metamathematics of Computer Programming. 2001.

Poznámka. Nadpisy sú číslované podľa [1].

Preskočte nasledujúce komponenty po nadpis „CVIČENIE“.

? = 0

(x) = x

C V I Č E N I E

9. PÁROVANIE

9.2. Párovacie funkcie

9.2.1. Párovacia funkcia CL

[CL] Zabudovaná párovacia funkcia. Párovacia funkcia zabudovaná do CL je založená na enumerácii (očíslovaní) binárnych stromov. Zapisuje sa binárnym infixovým operátorom „ , “ (čiarka), napríklad

1, 3

Operátor „ , “ má veľmi nízku prioritu a implicitne sa zátvorkuje doprava:

1 + 2, 3 + 4 \equiv ((1 + 2), (3 + 4))

1, 2, 3, 4 \equiv (1, (2, (3, 4)))

Vlastnosti párovacej funkcie CL. Podobne ako pre iné párovacie funkcie, aj funkcia $(x, y)$ má párovacie vlastnosti:

ak sa dva páry rovnajú, rovnajú sa po zložkách:

$(x, y) = (u, v) \to x = u \land y = v$ (1)
zložky páru sú menšie ako pár:

$x < (x, y) \land y < (x, y)$ (2)
každé nenulové číslo je pár:

$x = 0 \lor \exists y \exists z x = (y, z)$ (3)

Z vlastnosti (2) vyplýva:

0 \neq (x, y)

(4)

[CL] Úloha. CL nepočíta číselnú hodnotu párovacej funkcie, pokiaľ nie je priamo potrebná. Vyskúšajte napríklad dopyt (query):

    1+1,2+2 = x

Ak chcete poznať hodnotu párovacej funkcie pre nejaké čísla, môžete využiť napríklad formát $N$ , ktorý každé číslo (aj výsledok párovania) zobrazí v desiatkovom zápise:

    1+1,2+2 = x:N

alebo použiť párovanie ako argument aritmetickej operácie:

    (1+1,2+2)+0 = x

Pri bežnom programovaní nie je vyčíslenie párovacej funkcie potrebné.

9.2.2. Programovanie s párovacou funkciou

[CL] Párová diskriminácia. Na definovanie funkcií, ktoré spracúvajú vstup vytvorený párovaním budeme používať párovú diskrimináciu:

\dots \leftarrow τ = 0

\dots \leftarrow τ = x, y

kde $τ$ je ľubovoľný term a $x$ a $y$ sú nové premenné.

Párovú diskrimináciu umožňujú vlastnosti (3) a (4) z predchádzajúceho odseku.

[CL] Úloha. Porovnávania so vzorom z párovej diskriminácie môžete použiť aj v dopytoch (queries). Vyskúšajte napríklad:

    0 = x & x = 0
    0 = x & x = u,v
    8,3 = x & x = 0
    8,3 = x & x = u,v
    42 = x & x = 0
    42 = x & x = u,v

Úloha. Zadefinujte funkciu $Sum_pair (x)$ , ktorá sčíta zložky páru $x$ . Ak $x$ nie je pár, hodnotou $Sum_pair (x)$ je $0$ .

Testovanie.

    Sum_pair_test = r:Results

Sum_pair (x) = ?

Sum_pair_test = (Sum_pair (0) =^{?} 0), (Sum_pair (1) =^{?} 0), (Sum_pair (2) =^{?} 1), (Sum_pair (3) =^{?} 1), (Sum_pair (0, 0) =^{?} 0), (Sum_pair (0, 1) =^{?} 1), (Sum_pair (0, 1) =^{?} 1), (Sum_pair (10, 5) =^{?} 15), (Sum_pair (42) =^{?} 4), 0

Úloha. Zadefinujte funkciu ${Sprod}_{3} (x, y)$ , ktorá vypočíta skalárny súčin 3-rozmerných vektorov $x$ a $y$ . 3-rozmerný vektor pomocou párovania zakódujeme ako trojicu (dva doprava vnorené páry): $x_{1}, x_{2}, x_{3} = (x_{1}, (x_{2}, x_{3}))$ . Prípady, keď číslo $x$ alebo $y$ nie je trojica, nepíšte, ale prenechajte ich na tzv. default – CL automaticky doplní výsledok $0$ .

Testovanie.

    Sprod3_test = r:Results

{Sprod}_{3} (x, y) = ?

Sprod3_test = ({Sprod}_{3} (0, 0) =^{?} 0), ({Sprod}_{3} ((1, 0), 0) =^{?} 0), ({Sprod}_{3} (0, (1, 0)) =^{?} 0), ({Sprod}_{3} ((1, 0), (1, 0)) =^{?} 0), ({Sprod}_{3} ((1, 1, 1), (1, 0)) =^{?} 0), ({Sprod}_{3} ((0, 0), (1, 1, 1)) =^{?} 0), ({Sprod}_{3} ((1, 1, 1), (1, 1, 1)) =^{?} 3), ({Sprod}_{3} ((2, 4, 6), (1, 3, 5)) =^{?} 44), 0

Fibonacciho postupnosť.

{fib}_{0} = 0

{fib}_{1} = 1

{fib}_{n + 2} = {fib}_{n + 1} + {fib}_{n}

Úloha. Zadefinujte primitívnou rekurziou funkciu

Twofib (n) = ({fib}_{n}, {fib}_{n + 1})

bez použitia funkcie ${fib}_{n}$ .

Testovanie.

    Twofib_test = r:Results_pn

Twofib (n) = ?, ?

Twofib_test = (Twofib (0) =^{?} (0, 1)), (Twofib (1) =^{?} (1, 1)), (Twofib (2) =^{?} (1, 2)), (Twofib (3) =^{?} (2, 3)), (Twofib (4) =^{?} (3, 5)), (Twofib (5) =^{?} (5, 8)), (Twofib (6) =^{?} (8, 13)), (Twofib (7) =^{?} (13, 21)), (Twofib (8) =^{?} (21, 34)), (Twofib (42) =^{?} (267914296, 433494437)), 0

9.2.3. Tupling

Celočíselné delenie a zvyšok všeobecnou rekurziou.

Div (x, y) = 0 \leftarrow y = 0

Div (x, y) = 0 \leftarrow y \neq 0 \land x < y

Div (x, y) = Div (x \dot{-} y, y) + 1 \leftarrow y \neq 0 \land x ≧ y

Mod (x, y) = 0 \leftarrow y = 0

Mod (x, y) = x \leftarrow y \neq 0 \land x < y

Mod (x, y) = Mod (x \dot{-} y, y) \leftarrow y \neq 0 \land x ≧ y

Úloha. Zadefinujte všeobecnou rekurziou funkciu

Divmod (x, y) = (Div (x, y), Mod (x, y))

bez použitia funkcií $Div$ , $Mod$ a operátorov / a mod.

Testovanie.

    Divmod_test = r:Results_pn

Divmod (x, y) = ?, ?

Divmod_test = (Divmod (0, 0) =^{?} (0, 0)), (Divmod (2, 0) =^{?} (0, 0)), (Divmod (35, 0) =^{?} (0, 0)), (Divmod (0, 1) =^{?} (0, 0)), (Divmod (2, 1) =^{?} (2, 0)), (Divmod (35, 1) =^{?} (35, 0)), (Divmod (0, 7) =^{?} (0, 0)), (Divmod (2, 7) =^{?} (0, 2)), (Divmod (34, 7) =^{?} (4, 6)), (Divmod (35, 7) =^{?} (5, 0)), (Divmod (36, 7) =^{?} (5, 1)), 0

Najvýznamnejšia číslica a zvyšok čísla. V pozičnej sústave so základom $b ≧ 2$ sa každé číslo $n > 0$ dá jednoznačne zapísať ako postupnosť číslic $d_{k}$ $d_{k \dot{-} 1}$ … $d_{1}$ $d_{0}$ , kde $0 ≦ d_{i} < b$ pre všetky $i$ , $0 ≦ i ≦ k$ , a $d_{k} > 0$ . Platí teda:

n = d_{k} \cdot b^{k} + d_{k \dot{-} 1} \cdot b^{k \dot{-} 1} + \dots + d_{1} \cdot b^{1} + d_{0} \cdot b^{0}

Číslica $d_{k}$ sa nazýva najvýznamnejšia (angl. most significant digit).

Úloha. Zadefinujte všeobecnou rekurziou funkciu $Msd_lsds (n, b)$ , ktorej hodnotou pre $b ≧ 2$ a $n > 0$ je dvojica $(msd, lsds)$ , kde $msd$ je najvýznamnejšia číslica a $lsds$ je zvyšok čísla $n$ pozostávajúci zo všetkých menej významných číslic.

b ≧ 2 \land n > 0 \to Msd_lsds (d_{k} \cdot b^{k} + d_{k \dot{-} 1} \cdot b^{k \dot{-} 1} + \dots + d_{1} \cdot b^{1} + d_{0} \cdot b^{0}, b) = (d_{k}, d_{k \dot{-} 1} \cdot b^{k \dot{-} 1} + \dots + d_{1} \cdot b^{1} + d_{0} \cdot b^{0})

Pre $b ≧ 2$ a $n = 0$ je $Msd_lsds (n, b) = 0, 0$ . Prípad $b < 2$ prenechajte na default.

Testovanie.

    Msd_lsds_test = r:Results

Msd_lsds (x, b) = ?

Msd_lsds_test = (Msd_lsds (7, 0) =^{?} 0), (Msd_lsds (7, 1) =^{?} 0), (Msd_lsds (0, 2) =^{?} (0, 0)), (Msd_lsds (0, 10) =^{?} (0, 0)), (Msd_lsds (5, 10) =^{?} (5, 0)), (Msd_lsds (10, 10) =^{?} (1, 0)), (Msd_lsds (17, 10) =^{?} (1, 7)), (Msd_lsds (98, 10) =^{?} (9, 8)), (Msd_lsds (256, 10) =^{?} (2, 56)), (Msd_lsds (54321, 10) =^{?} (5, 4321)), (Msd_lsds (256, 16) =^{?} (1, 0)), (Msd_lsds (4 \cdot 256 + 10 \cdot 16 + 3, 16) =^{?} (4, 10 \cdot 16 + 3)), 0

Prémiová domáca úloha du04. (2+1+1+2 body) Pravidlá pre prémiové domáce úlohy nájdete na http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp#pdu

Časti a) – c) nájdete v ex04a.cl. Jednotlivé časti môžete odovzdať nezávisle od seba.

d) (2 body) Naprogramujte funkciu $Divmodb (x, y) = (x \div y, x mod y)$ , ktorá pomocou rekurzie na binárnom zápise čísel a pomocou tuplingu počíta súčasne podiel a zvyšok po delení čísla $x$ číslom $y$ .

Môžete použiť iba binárnu, dichotomickú ( $x ≧ y$ | $x < y$ ) a párovú diskrimináciu, binárnu rekurziu, zabudované odčítanie ( $a \dot{-} b$ ), párovanie ( $a, b$ ), binárne konštruktory $S_{0}$ , $S_{1}$ a konštantu $0$ .

Návod. Použite podobný postup ako ste sa učili na základnej škole. Binárnu rekurziu použite na delenca ( $x$ ), deliteľ ( $y$ ) je konštantným parametrom. Podstatné časti výpočtu sa dejú pri vynáraní z rekurzie.

Testovanie.

    Divmodb_test = r:Results_pn

Divmodb (x, y) = ?, ?

Divmodb_test = (Divmodb (0, 0) =^{?} (0, 0)), (Divmodb (2, 0) =^{?} (0, 0)), (Divmodb (35, 0) =^{?} (0, 0)), (Divmodb (0, 1) =^{?} (0, 0)), (Divmodb (2, 1) =^{?} (2, 0)), (Divmodb (35, 1) =^{?} (35, 0)), (Divmodb (0, 7) =^{?} (0, 0)), (Divmodb (2, 7) =^{?} (0, 2)), (Divmodb (34, 7) =^{?} (4, 6)), (Divmodb (35, 7) =^{?} (5, 0)), (Divmodb (36, 7) =^{?} (5, 1)), (Divmodb (x, 7) =^{?} (x \div 7, x mod 7)), (Divmodb (x, 7000) =^{?} (x \div 7000, x mod 7000)), (Divmodb (x, 7000000) =^{?} (x \div 7000000, x mod 7000000)), 0 \leftarrow 123456 \cdot 7000000 + 123456 = x