Clausal Language (ver. 5.81.20, by P.J. Voda, J. Komara, J. Kluka)

4. CVIČENIE Z PREDMETU ÚVOD DO DEKLARATÍVNEHO PROGRAMOVANIA LS 2013/2014

ČASŤ A

http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/ex/ex04.zip

Dátum: 11. a 12. 3. 2014

Odporúčaná verzia CL: 5.81.20

WWW stránka predmetu: http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/

Kontakt: udp(zavináč)lists.dai.fmph.uniba.sk

Úvodná poznámka. Toto cvičenie je venované aritmetickým operáciám na binárnom zápise čísel (ex04a) a tuplingu (ex04b).

Literatúra.

[1] J. Kľuka. Prednášky z Úvodu do deklaratívneho programovania LS 2013/2014.

http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/udp-prednasky-2014.pdf

[2] D. Guller. Poznámky k prednáškam z CL.

[3] J. Komara and P. J. Voda. Metamathematics of Computer Programming. 2001.

Poznámka. Nadpisy sú číslované podľa [1].

Preskočte nasledujúce komponenty po nadpis „CVIČENIE“.

? = 0

(x) = x

C V I Č E N I E

8. DYADICKÁ ČÍSELNÁ SÚSTAVA

Binárny zápis čísla. Každé prirodzené číslo $n$ možno zapísať v tvare

n = ((\dots((0 \cdot 2 + b_{k}) \cdot 2 + b_{k \dot{-} 1})\dots) \cdot 2 + b_{1}) \cdot 2 + b_{0}

kde $b_{i} \in {0, 1}$ pre všetky $0 ≦ i ≦ k$ .

Postupnosť $0$ $b_{k}$ $b_{k \dot{-} 1}$ … $b_{1}$ $b_{0}$ nazývame binárnym zápisom (binárnou reprezentáciou) čísla $n$ .

Napríklad

13 = (((0 \cdot 2 + 1) \cdot 2 + 1) \cdot 2 + 0) \cdot 2 + 1

Binárny zápis čísla $13$ je teda

01101

8.1. Binárne konštruktory

[CL] Binárne konštruktory. V CL sú preddefinované funkcie

S_{0} (x) \equiv x 0 = 2 \cdot x + 0

S_{1} (x) \equiv x 1 = 2 \cdot x + 1

nazývané binárne konštruktory. Pomocou nich môžeme konštruovať binárny zápis čísel. Funkciu $S_{0} (n)$ môžeme chápať ako „pridaj číslicu 0 na koniec binárneho zápisu čísla $n$ “. Tomu zodpovedá aj spôsob jej zobrazenia: $n 0$ . Význam $S_{1}$ sa dá chápať analogicky.

[CL] Úloha. Vyhodnoťte nasledujúce dopyty (queries):

S1 S0 S1 S1(0) = n

50 = n & S0(n) = p & S1(n) = q

8.2. Binárna diskriminácia

[CL] Binárny formát. CL dokáže zobraziť hodnotu premennej v Query v binárnom zápise pomocou binárneho formátu $Nb$ .

Syntax:

    hodnota = premenna:Nb

Hodnota sa zobrazí akoby bola skonštruovaná z 0 pomocou konštruktorov $S_{0}$ a $S_{1}$ .

[CL] Úloha. Vyhodnoťte nasledujúce dopyty (queries):

13 = n:Nb

13+12 = n & n = m:Nb

S1 S0 S1 S0 S1(0) = n & n = m:Nb

[CL] Binárna diskriminácia. Binárny zápis každého prirodzeného čísla $n$ končí číslicou 0 alebo číslicou 1:

\exists m n = m 0 \lor \exists m n = m 1

(N2_cover)

Tieto možnosti sú vzájomne výlučné

\neg (\exists m n = m 0 \land \exists m n = m 1)

(N2_excl)

a tvoria binárnu diskrimináciu. CL pozná túto diskrimináciu. Používame ju v tvare

\dots \leftarrow τ = m 0

\dots \leftarrow τ = m 1

kde $t$ je ľubovoľný výraz (obyčajne argument funkcie) a $m$ je nová premenná (podobne ako pri monadickej diskriminácii).

Binárnu diskrimináciu možno dosadiť do argumentov definovanej funkcie nasledovne:

F (m 0) = \dots m \dots

F (m 1) = \dots m \dots

[CL] Úloha. Zadajte nasledujúce dopyty (queries) pre viacero rôznych hodnôt $n$ :

13 = n:Nb & n = 0

13 = n:Nb & n = S0(m)

13 = n:Nb & n = S0(m:Nb)

13 = n:Nb & n = S1(m)

13 = n:Nb & n = S1(m:Nb)

Úloha. Pomocou binárnej diskriminácie naprogramujte funkciu ${Mod}_{4} (x)$ , ktorej hodnotou je zvyšok po delení čísla $n$ číslom $4$ .

Testovanie.

    Mod4_test = r:Results

{Mod}_{4} (x) = ?

Mod4_test = ({Mod}_{4} (0) =^{?} 0), ({Mod}_{4} (1) =^{?} 1), ({Mod}_{4} (2) =^{?} 2), ({Mod}_{4} (3) =^{?} 3), ({Mod}_{4} (4) =^{?} 0), ({Mod}_{4} (5) =^{?} 1), ({Mod}_{4} (6) =^{?} 2), ({Mod}_{4} (7) =^{?} 3), ({Mod}_{4} (8) =^{?} 0), ({Mod}_{4} (9) =^{?} 1), ({Mod}_{4} (10) =^{?} 2), ({Mod}_{4} (12345 \cdot 67890) =^{?} 2), 0

8.3. Binárna rekurzia

Binárna rekurzia. Ak funkciu zadefinujeme tak, že všetky rekurzívne volania majú menší počet binárnych číslic ako pôvodný argument, teda

F (m 0) = \dots \leftarrow m = 0

F (m 0) = \dots F (m) \dots \leftarrow m > 0

F (m 1) = \dots F (m) \dots

hovoríme o binárnej rekurzii. Všimnite si, že pre $m 0$ je potrené rozlíšiť prípady $m = 0$ (teda aj $m 0 = 0$ ) a $m > 0$ (teda aj $m 0 > 0$ a $m$ sa dá zapísať menším počtom binárnych číslic ako $m 0$ ). Binárna rekurzia je špeciálnym prípadom všeobecnej (course-of-values) rekurzie, pretože

m > 0 \to m < m 0

m < m 1

Všetky funkcie v tomto cvičení definujte iba binárnou rekurziou!

8.3. Aritmetické operácie na binárnom zápise čísel

Poznámka. Binárnou rekurziou môžeme zadefinovať efektívne aritmetické operácie na prirodzených číslach s neobmedzenou presnosťou. Počet krokov potrebných na takto zadefinované operácie lineárne závisí od počtu číslic v binárnom zápise argumentov operácie, nie od hodnoty argumentov.

Úloha. Nasledovník. Binárnou rekurziou zadefinujte funkciu nasledovník $Succ (x) = x + 1$ .

Návod. Predstavte si binárnu verziu sčítania, ako ste sa ho učili na základnej škole. Uvedomte si, kedy nastáva prenos do vyššieho rádu.

  01100 (12)     01101 (13)      01111 (15)
  +   1          +   1          +    1     
  -----          -----          ------     
  01101 (13)     01110 (14)     010000 (16)

Testovanie.

    Succ_test = r:Results_n

Succ (x) = ?

Succ_test = (Succ (0) =^{?} 1), (Succ (1) =^{?} 2), (Succ (2) =^{?} 3), (Succ (3) =^{?} 4), (Succ (4) =^{?} 5), (Succ (5) =^{?} 6), (Succ (6) =^{?} 7), (Succ (7) =^{?} 8), (Succ (8) =^{?} 9), (Succ (32768 \cdot 32367 \dot{-} 1) =^{?} 32768 \cdot 32367), (Succ (32768^{2} \dot{-} 1) =^{?} 32768^{2}), 0

Úloha. Sčítanie. Binárnou rekurziou zadefinujte funkciu sčítanie $Add (x, y) = x + y$ .

Návod 1 (názorný). Predstavte si binárnu verziu sčítania, ako ste sa ho učili na základnej škole. Rozoberte jednotlivé prípady:

   00    x0    x0    x0    x1    x1    x1
  + y   +00   +y0   +y1   +00   +y0   +y1
  ---   ---   ---   ---   ---   ---   ---
   ??    ??    ??    ??    ??    ??    ??

Na prenos do vyššieho rádu použite funkciu nasledovník ( $Succ$ ) z predchádzajúcej úlohy.

Návod 2 (algebraický). Uvedomte si, že $x 0 = 2 \cdot x + 0$ a že $x 1 = 2 \cdot x + 1$ . Preto napríklad $Add (x 0, y 1) = (2 \cdot x + 0) + (2 \cdot y + 1)$ . Upravte tento výraz tak, aby sa dal zapísať iba pomocou $S_{0}$ , $S_{1}$ , funkcie $Succ (x)$ a rekurzívneho volania $Add (x, y)$ , ktoré má hodnotu $x + y$ . Podobne postupujte aj v ostatných prípadoch.

Testovanie.

    Add_test = r:Results_n

Add (x 0, y 0) = ? \leftarrow x = 0

Add (x 0, y 1) = ? \leftarrow x = 0

Add (x 0, y 0) = ? \leftarrow x > 0 \land y = 0

Add (x 0, y 0) = ? \leftarrow x > 0 \land y > 0

Add (x 0, y 1) = ? \leftarrow x > 0

Add (x 1, y 0) = ? \leftarrow y = 0

Add (x 1, y 0) = ? \leftarrow y > 0

Add (x 1, y 1) = ?

Add_test = (Add (0, 0) =^{?} 0 + 0), (Add (0, 43210) =^{?} 0 + 43210), (Add (3, 0) =^{?} 3 + 0), (Add (3, 3) =^{?} 3 + 3), (Add (3, 12) =^{?} 3 + 12), (Add (12, 0) =^{?} 12 + 0), (Add (12, 3) =^{?} 12 + 3), (Add (12, 12) =^{?} 12 + 12), (Add (12345 \cdot 67890, 98765 \cdot 43210) =^{?} 12345 \cdot 67890 + 98765 \cdot 43210), 0

Úloha. Násobenie. Binárnou rekurziou zadefinujte funkciu násobenie $Mul (x, y) = x \cdot y$ .

Návod. Využite algebraický návod k funkcii $Add$ . Použite iba rekurzívne volanie $Mul$ , funkciu $Add$ a binárne konštruktory. Binárnu diskrimináciu použite iba na jeden argument.

Testovanie.

    Mul_test = r:Results_n

Mul (x, y) = ?

Mul_test = (Mul (0, 0) =^{?} 0 \cdot 0), (Mul (0, 20304) =^{?} 0 \cdot 20304), (Mul (20304, 0) =^{?} 20304 \cdot 0), (Mul (1, 20304) =^{?} 1 \cdot 20304), (Mul (20304, 1) =^{?} 20304 \cdot 1), (Mul (2, 20304) =^{?} 2 \cdot 20304), (Mul (20304, 2) =^{?} 20304 \cdot 2), (Mul (3, 20304) =^{?} 3 \cdot 20304), (Mul (20304, 3) =^{?} 20304 \cdot 3), (Mul (4, 20304) =^{?} 4 \cdot 20304), (Mul (20304, 4) =^{?} 20304 \cdot 4), (Mul (5, 20304) =^{?} 5 \cdot 20304), (Mul (20304, 5) =^{?} 20304 \cdot 5), (Mul (6, 20304) =^{?} 6 \cdot 20304), (Mul (20304, 6) =^{?} 20304 \cdot 6), (Mul (20304, 5000) =^{?} 20304 \cdot 5000), (Mul (5000, 20304) =^{?} 5000 \cdot 20304), (Mul (20304^{2}, 50000^{2}) =^{?} 20304^{2} \cdot 50000^{2}), (Mul (50000^{2}, 20304^{2}) =^{?} 50000^{2} \cdot 20304^{2}), 0

Úloha. Druhá mocnina. Binárnou rekurziou zadefinujte funkciu druhej mocniny $Square (x) = x^{2}$ . Nepoužite žiadne doteraz naprogramované ani vlastné pomocné funkcie okrem sčítania.

Návod. Uvedomte si, že $x 1 = 2 \cdot x + 1$ a teda $Square (x 1) = {(2 \cdot x + 1)}^{2}$ . Upravte tento výraz tak, aby sa dal zapísať iba pomocou $S_{0}$ , $S_{1}$ , sčítania $Add$ a rekurzívneho volania $Square (x)$ , ktoré má hodnotu $x^{2}$ . Podobne postupujte pri $Square (x 0) = {(2 \cdot x)}^{2}$ .

Testovanie.

    Square_test = r:Results_n

Square (x) = ?

Square_test = (Square (0) =^{?} 0), (Square (1) =^{?} 1), (Square (2) =^{?} 2^{2}), (Square (3) =^{?} 3^{2}), (Square (4) =^{?} 4^{2}), (Square (5) =^{?} 5^{2}), (Square (6) =^{?} 6^{2}), (Square (7) =^{?} 7^{2}), (Square (8) =^{?} 8^{2}), (Square (32768 \cdot 32767 \dot{-} 1) =^{?} {(32768 \cdot 32767 \dot{-} 1)}^{2}), (Square ({(65536^{2})}^{2} \dot{-} 1) =^{?} {({(65536^{2})}^{2} \dot{-} 1)}^{2}), 0

Úloha. Umocnenie. Binárnou rekurziou zadefinujte funkciu umocnenie $Exp (x, y) = x^{y}$ .

Návod. Postupujte podobne ako pri funkcii $Square$ , teda vyjadrite pomocou už zadefinovaných operácií a rekurzie $Exp (x, y)$ hodnoty $Exp (x, y 0) = x^{2 \cdot y}$ a $Exp (x, y 1) = x^{2 \cdot y + 1}$ . Použite funkcie $Mul$ a $Square$ .

Testovanie.

    Exp_test = r:Results_n

Exp (x, y) = ?

Exp_test = (Exp (0, 0) =^{?} 1), (Exp (0, 20304) =^{?} 0), (Exp (1, 20304) =^{?} 1), (Exp (10, 0) =^{?} 1), (Exp (10, 1) =^{?} 10), (Exp (10, 2) =^{?} 100), (Exp (10, 3) =^{?} 1000), (Exp (10, 4) =^{?} 10000), (Exp (10, 5) =^{?} 100000), (Exp (10, 6) =^{?} 1000000), (Exp (2, 100) =^{?} {(1024 \cdot {(1024^{2})}^{2})}^{2}), 0

Prémiová domáca úloha du04. (2+1+1+2 body) Pravidlá pre prémiové domáce úlohy nájdete na http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp#pdu

Časti a) – d) môžete odovzdať nezávisle od seba. Časť d) sa nachádza v súbore ex04b.cl.

a) (2 body) Dokážte, že pre vašu definíciu funkcie $Exp$ platí:

Exp (x, y + 1) = x \cdot Exp (x, y)

(Exp_succ)

Použite svoju definíciu funkcie $Exp$ , úplnú indukciu, analýzu prípadov

\exists m (n = m 0 \land m = 0) \lor \exists m (n = m 0 \land m > 0) \lor \exists m n = m 1

(N2_cover)

ďalej fakty

m > 0 \to m < m 0

m < m 1

definície konštruktorov $S_{0}$ a $S_{1}$ a vlastnosti sčítania a násobenia. Nepredpokladajte, že $Exp$ skutočne počíta umocnenie!

b) (1 bod) Naprogramujte binárnou rekurziou funkciu $Pred (x)$ , ktorá počíta predchodcu čísla $x$ , teda $Pred (x) = x \dot{-} 1$ . Nepoužite žiadne pomocné funkcie, okrem $S_{0}$ a $S_{1}$ ani žiadne zabudované aritmetické operácie.

Testovanie.

    Pred_test = r:Results_n

Pred (x) = ?

Pred_test = (Pred (0) =^{?} 0 \dot{-} 1), (Pred (1) =^{?} 1 \dot{-} 1), (Pred (2) =^{?} 2 \dot{-} 1), (Pred (3) =^{?} 3 \dot{-} 1), (Pred (4) =^{?} 4 \dot{-} 1), (Pred (5) =^{?} 5 \dot{-} 1), (Pred (6) =^{?} 6 \dot{-} 1), (Pred (7) =^{?} 7 \dot{-} 1), (Pred (8) =^{?} 8 \dot{-} 1), (Pred (9) =^{?} 9 \dot{-} 1), (Pred (32768 \cdot 32367 \dot{-} 1) =^{?} 32768 \cdot 32367 \dot{-} 2), (Pred (32768^{2} \dot{-} 1) =^{?} 32768^{2} \dot{-} 2), 0

c) (1 bod) Binárnou rekurziou naprogramujte funkciu $Sub (x, y)$ , ktorá počíta rozdiel čísel $x$ a $y$ za predpokladu, že $x ≧ y$ , teda

x ≧ y \to x = y + Sub (x, y)

(Sub_spec)

V prípade, že $x < y$ , môže byť hodnota $Sub (x, y)$ ľubovoľná.

Použite pomocnú funkciu $Pred$ a binárne konštruktory. Nepoužite iné pomocné funkcie, žiadne zabudované aritmetické operácie ani porovnania.

Testovanie.

    Sub_test = r:Results_n

Sub (x, y) = ?

Sub_test = (Sub (19, 0) =^{?} 19 \dot{-} 0), (Sub (19, 1) =^{?} 19 \dot{-} 1), (Sub (19, 2) =^{?} 19 \dot{-} 2), (Sub (19, 3) =^{?} 19 \dot{-} 3), (Sub (19, 4) =^{?} 19 \dot{-} 4), (Sub (19, 5) =^{?} 19 \dot{-} 5), (Sub (19, 6) =^{?} 19 \dot{-} 6), (Sub (19, 7) =^{?} 19 \dot{-} 7), (Sub (19, 8) =^{?} 19 \dot{-} 8), (Sub (19, 9) =^{?} 19 \dot{-} 9), (Sub (19, 10) =^{?} 19 \dot{-} 10), (Sub (19, 11) =^{?} 19 \dot{-} 11), (Sub (19, 12) =^{?} 19 \dot{-} 12), (Sub (19, 13) =^{?} 19 \dot{-} 13), (Sub (19, 14) =^{?} 19 \dot{-} 14), (Sub (19, 15) =^{?} 19 \dot{-} 15), (Sub (19, 16) =^{?} 19 \dot{-} 16), (Sub (19, 17) =^{?} 19 \dot{-} 17), (Sub (19, 18) =^{?} 19 \dot{-} 18), (Sub (19, 19) =^{?} 19 \dot{-} 19), (Sub (123456789 \cdot 10, 987654321) =^{?} 123456789 \cdot 10 \dot{-} 987654321), (Sub (32768 \cdot 32367, 32767 \cdot 32366) =^{?} 32768 \cdot 32367 \dot{-} 32767 \cdot 32366), (Sub (32768 \cdot 32367 \dot{-} 1, 32767 \cdot 32366) =^{?} 32768 \cdot 32367 \dot{-} 1 \dot{-} 32767 \cdot 32366), (Sub (32768 \cdot 32367, 32767 \cdot 32366 \dot{-} 1) =^{?} 32768 \cdot 32367 \dot{-} (32767 \cdot 32366 \dot{-} 1)), (Sub (32768 \cdot 32367 \dot{-} 1, 32767 \cdot 32366 \dot{-} 1) =^{?} 32768 \cdot 32367 \dot{-} 1 \dot{-} (32767 \cdot 32366 \dot{-} 1)), 0