Clausal Language (ver. 5.81.20, by P.J. Voda, J. Komara, J. Kluka)

2. CVIČENIE Z PREDMETU ÚVOD DO DEKLARATÍVNEHO PROGRAMOVANIA 2013/2014

ČASŤ B

http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/ex/ex02.zip

Dátum: 25. a 26. 2. 2014

Odporúčaná verzia CL: 5.81.20

WWW stránka predmetu: http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp

Kontakt: udp(zavináč)lists.dai.fmph.uniba.sk

Úvodná poznámka. Toto cvičenie je venované definíciám funkcií primitívnou rekurziou (ex02a) a všeobecnou rekurziou (ex02b).

Literatúra.

[1] J. Kľuka. Prednášky z Úvodu do deklaratívneho programovania LS 2013/2014.

http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/udp-prednasky-2014.pdf

[2] D. Guller. Poznámky k prednáškam z CL.

[3] J. Komara and P. J. Voda. Metamathematics of Computer Programming. 2001.

Poznámka. Nadpisy sú číslované podľa [1].

Preskočte nasledujúce komponenty po nadpis „CVIČENIE“.

? = 0

C V I Č E N I E

5. REKURZÍVNE DEFINÍCIE

5.2 Všeobecná rekurzia

Úloha. Celočíselné delenie. Predpokladajte, že máte k dispozícii iba zabudované sčítanie, odčítanie a diskriminácie. Všeobecnou rekurziou zadefinujte funkciu $Div (x, y) \equiv x \div y$ , ktorej hodnotou je podiel pri celočíselnom delení čísla $x$ číslom $y$ .

Špecifikácia:

x \div 0 = 0

(Div0)

y \neq 0 \to \exists r (x = x \div y \cdot y + r \land r < y)

(Div_quotient)

x \div y = ?

Testujte podobne ako v ex02a dopytom:

    Div_test = r:Results

Div_test = (0 \div 0 =^{?} 0), (2 \div 0 =^{?} 0), (35 \div 0 =^{?} 0), (0 \div 1 =^{?} 0), (2 \div 1 =^{?} 2), (35 \div 1 =^{?} 35), (0 \div 7 =^{?} 0), (2 \div 7 =^{?} 0), (34 \div 7 =^{?} 4), (35 \div 7 =^{?} 5), (36 \div 7 =^{?} 5), 0

Úloha. Zvyšok po celočíselnom delení. Predpokladajte, že máte k dispozícii iba zabudované sčítanie, odčítanie a diskriminácie. Všeobecnou rekurziou zadefinujte funkciu $Mod (x, y) \equiv x \mod y$ , ktorej hodnotou je zvyšok po celočíselnom delení čísla $x$ číslom $y$ .

Špecifikácia:

x \mod 0 = 0

(Mod0)

y \neq 0 \to \exists q (x = q \cdot y + x \mod y \land x \mod y < y)

(Mod_remainder)

x \mod y = ?

Testujte dopytom:

    Mod_test = r:Results

Mod_test = (0 \mod 0 =^{?} 0), (2 \mod 0 =^{?} 0), (35 \mod 0 =^{?} 0), (0 \mod 1 =^{?} 0), (2 \mod 1 =^{?} 0), (35 \mod 1 =^{?} 0), (0 \mod 7 =^{?} 0), (2 \mod 7 =^{?} 2), (34 \mod 7 =^{?} 6), (35 \mod 7 =^{?} 0), (36 \mod 7 =^{?} 1), 0

Úloha. Fibonacciho postupnosť. Všeobecnou rekurziou zadefinujte funkciu $Fib (n) \equiv {fib}_{n}$ počítajúcu $n$ -tý prvok Fibonacciho postupnosti.

Špecifikácia:

{fib}_{0} = 0

{fib}_{1} = 1

{fib}_{n + 2} = {fib}_{n + 1} + {fib}_{n}

{fib}_{n} = ?

Testujte dopytom:

    Fib_test = r:Results

Fib_test = ({fib}_{0} =^{?} 0), ({fib}_{1} =^{?} 1), ({fib}_{2} =^{?} 1), ({fib}_{3} =^{?} 2), ({fib}_{4} =^{?} 3), ({fib}_{5} =^{?} 5), ({fib}_{6} =^{?} 8), ({fib}_{7} =^{?} 13), ({fib}_{8} =^{?} 21), 0

5.3 Všeobecná rekurzia so substitúciou v parametri

Predikát deliteľnosti.

x ∣ y \leftrightarrow \exists z y = x \cdot z

Úloha. Najväčší spoločný deliteľ. Všeobecnou rekurziou zadefinujte funkciu $Gcd (x, y) \equiv \gcd (x, y)$ počítajúcu najväčší spoločný deliteľ čísel $x$ a $y$ využitím vlastností

y ∣ 0

x \neq 0 \land d ∣ x \to d ∣ y \leftrightarrow d ∣ y mod x

Pri definícii budete potrebovať v rekurzívnom volaní zmeniť aj druhý, nerekurzívny argument. Tento typ rekurzie sa nazýva rekurzia so substitúciou v parametri.

Špecifikácia:

x \neq 0 \lor y \neq 0 \to \gcd (x, y) ∣ x \land \gcd (x, y) ∣ y

(Gcd_divisor)

(x \neq 0 \lor y \neq 0) \land d ∣ x \land d ∣ y \to d ≦ \gcd (x, y)

(Gcd_greatest)

\gcd (x, y) = ?

Testujte dopytom:

    Gcd_test = r:Results

Gcd_test = (\gcd (0, 0) =^{?} 0), (\gcd (5, 0) =^{?} 5), (\gcd (0, 5) =^{?} 5), (\gcd (55, 75) =^{?} 5), (\gcd (75, 55) =^{?} 5), (\gcd (2772, 3132) =^{?} 36), (\gcd (3132, 2772) =^{?} 36), (\gcd (7919 \cdot 7907, 7919 \cdot 7901) =^{?} 7919), 0

Prémiová domáca úloha du02, časť b). Pravidlá pre prémiové domáce úlohy nájdete na http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp#pdu.

Časť a) sa nachádza v ex02a.

b) (2 body) Dokážte, že pre vašu definíciu funkcie $Mod$ platí vyššie uvedená vlastnosť (Mod_remainder). Využite úplnú indukciu a všeobecne známe vlastnosti sčítania, násobenia (asociatívnosť, komutatívnosť, krátenie a distributívnosť) a vlastnosti modifikovaného odčítania spomenuté na prvej prednáške. Uvedomte si, že premenná $q$ predstavuje celočíselný podiel.