Clausal Language (ver. 5.81.20, by P.J. Voda, J. Komara, J. Kluka)

1. CVIČENIE Z PREDMETU ÚVOD DO DEKLARATÍVNEHO PROGRAMOVANIA 2013/2014

ČASŤ B

http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/ex/ex01.zip

Dátum: 18. a 19. 2. 2014

Odporúčaná verzia CL: 5.81.20

WWW stránka predmetu: http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/

Kontakt: udp(zavináč)lists.dai.fmph.uniba.sk

Úvodná poznámka. Toto cvičenie je venované dopytom (ex01a) a explicitným definíciám (ex01b).

Literatúra.

[1] J. Kľuka. Prednášky z Úvodu do deklaratívneho programovania LS 2013/2014.

http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/udp-prednasky-2014.pdf

[2] D. Guller. Poznámky k prednáškam z CL.

[3] J. Komara and P. J. Voda. Metamathematics of Computer Programming. 2001.

Poznámka. Nadpisy sú číslované podľa [1].

Preskočte nasledujúce komponenty po nadpis „CVIČENIE“.

[CL] CL-TeX. Nasledujúce komponenty umožňujú špeciálne zobrazenie niektorých funkcií.

? = 0

(x) = x

C V I Č E N I E

3. JAZYK CL

3.1 Základy syntaxe

[CL] Syntax. Identifikátorové konvencie:

Identifikátor premennej je reťazec malých písmen anglickej abecedy, voliteľne nasledovaný jednou alebo dvoma číslicami predstavujúcimi index. Príklady: $x$ , $ys$ , $i_{1}$ , ${foo}_{99}$ .
Identifikátor funkcie (funkčný symbol) je reťazec začínajúci veľkým písmenom anglickej abecedy a obsahujúci malé písmená, číslice a podčiarkovník '_'. Examples: $F$ , $Max$ , $Power_of_some_prime$ , ${A1b2c}_{3}$ .

[CL] Poznámka. Komponent je buď poznámka (remark), alebo definícia (function definition, predicate definition) alebo teoréma (theorem).

4. EXPLICITNÉ DEFINÍCIE

Funkcia druhej mocniny. Nasledujúci komponent obsahuje definíciu funkcie $Square (x)$ , ktorej hodnotou je druhá mocnina $x^{2}$ čísla $x$ .

Square (x) = x \cdot x

Úloha. Vyhodnoťte funkciu druhej mocniny pre niekoľko argumentov; napríklad položte dopyt $Square (5) = x$ .

Úloha. Funkcia tretej mocniny. Napíšte explicitnú definíciu funkcie $Cube (x)$ , ktorej hodnotou je tretia mocnina $x^{3}$ čísla $x$ .

[CL] Návod. Použite tlačidlo [Ins/Del] vpravo pod týmto zadaním.

Úloha. Súčet dvoch druhých mocnín. Napíšte explicitnú definíciu binárnej (2-argumentovej) funkcie $Sum_of_squares (x, y)$ , ktorej hodnotou je súčet druhých mocnín $x^{2}$ a $y^{2}$ .

[CL] Poznámka. Svoje riešenie priebežne ukladajte kliknutím tlačidla [Save] na lište v pravom hornom rohu okna alebo stlačením Alt + S.

4.1. Explicitné definície s jednou podmienkou

Minimum. Nasledujúci komponent obsahuje klauzálnu definíciu funkcie minima dvoch čísel.

Funkcia spĺňa špecifikáciu:

\min (x, y) ≦ x \land \min (x, y) ≦ y

\min (x, y) = x \lor \min (x, y) = y

Poznámka. V definícii je použitá dichotomická diskriminácia $τ ≦ σ$ | $τ > σ$ . Diskriminácia je sada podmienok, o ktorých CL vie, že sú navzájom výlučné.

[CL] Poznámka. Hoci skutočné meno funkcie začína veľkým písmenom, funkcia je nastavená tak, že sa zobrazuje s malým začiatočným písmenom (podľa zvyklostí v matematike). Matematické zobrazovanie programov je v CL všadeprítomné (napríklad obrátenú implikáciu píšeme „<-“ a zobrazuje sa „←“, reláciu menšie alebo rovné píšeme „<=“ a zobrazuje sa „≦“ atď.).

\min (x, y) = x \leftarrow x ≦ y

\min (x, y) = y \leftarrow x > y

Úloha. Vyhodnoťte funkciu minima pre niekoľko hodnôt argumentov.

[CL] Poznámka. Príklad syntakticky nesprávnej definície rovnakej funkcie:

\min (x, y) = x \leftarrow x ≦ y

\min (a, b) = b \leftarrow a > b

Prvá aplikácia $\min (x, y)$ sa syntakticky líši od druhej aplikácie $\min (a, b)$ . Obe aplikácie musia byť rovnaké tak, ako vo vyššie uvedenej správnej definícii.

Úloha. Maximum. Zadefinujte binárnu funkciu $\max (x, y)$ , ktorej hodnotou je maximum čísel $x$ a $y$ . Ako identifikátor funkcie použite $Max$ a v menu „displayed by“ vyberte $Tex2_max$ .

Funkcia má spĺňať špecifikáciu:

\max (x, y) ≧ x \land \max (x, y) ≧ y

\max (x, y) = x \lor \max (x, y) = y

4.2. Explicitné definície s viacerými podmienkami

Úloha. Minimum troch čísel. Zadefinujte ternárnu (3-argumentovú) funkciu ${Min}_{3} (x, y, z)$ , ktorej hodnotou je minimum čísel $x$ , $y$ , $z$ .

Špecifikácia:

{Min}_{3} (x, y, z) ≦ x \land {Min}_{3} (x, y, z) ≦ y \land {Min}_{3} (x, y, z) ≦ z

{Min}_{3} (x, y, z) = x \lor {Min}_{3} (x, y, z) = y \lor {Min}_{3} (x, y, z) = z

Úloha. Maximum troch čísel. Zadefinujte ternárnu funkciu ${Max}_{3} (x, y, z)$ , ktorej hodnotou je maximum čísel $x$ , $y$ , $z$ .

Špecifikácia:

{Max}_{3} (x, y, z) ≧ x \land {Max}_{3} (x, y, z) ≧ y \land {Max}_{3} (x, y, z) ≧ z

{Max}_{3} (x, y, z) = x \lor {Max}_{3} (x, y, z) = y \lor {Max}_{3} (x, y, z) = z

Úloha. Medián. Zadefinujte ternárnu funkciu $Median (x, y, z)$ , ktorej hodnotou je medián čísel $x$ , $y$ and $z$ .

Špecifikácia:

x ≦ y \land y ≦ z \to Median (x, y, z) = y

(Median_middle)

Median (x, y, z) = Median (y, x, z)

(Median_perm1)

Median (x, y, z) = Median (x, z, y)

(Median_perm2)

Poznámka. Vaše riešenie odporúčame otestovať dopytom:

  Median(1,2,3),Median(1,3,2),Median(2,1,3),
  Median(2,3,1),Median(3,1,2),Median(3,2,1),
  Median(1,2,2),Median(2,1,2),Median(2,2,1),
  Median(3,2,2),Median(2,3,2),Median(2,2,3),
  Median(2,2,2) = x

s očakávaným výsledkom $x = 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2$

Úloha. Disjunktívne podmienky. Zadefinujte ternárnu funkciu $F_{1} (x, y, z)$ tak, aby platilo:

ak $x < y$ alebo $x ≧ z$ , tak $F_{1} (x, y, z) = 1$ ;
inak $F_{1} (x, y, z) = 2$ .

Keďže v klauzálnej definícii sa nedá použiť disjunkcia, musíte vhodne zložiť dichotomické diskriminácie podobne ako pri predchádzajúcich funkciách.

Úloha. Táto úloha má 4 časti a) – d), v ktorých je pomocou skladania dichotomických diskriminácií potrebné zadefinovať funkcie tak, aby mali uvedené vlastnosti.

Upozornenia.

Uvedomte si, že všetky funkcie v CL sú definované iba na prirodzených číslach.

Niektoré časti tejto úlohy nemajú riešenie. V takom prípade nájdite konkrétne hodnoty premenných $x$ , $y$ a $z$ , pre ktoré je zadanie sporné.

a) Zadefinujte ternárnu funkciu $F_{2} (x, y, z)$ tak, aby platilo:

ak $(x < y + z \lor (x > y \land x > z))$ , tak $F_{2} (x, y, z) = 1$ ;
inak $F_{2} (x, y, z) = 2$ .

b) Zadefinujte ternárnu funkciu $F_{3} (x, y, z)$ tak, aby platilo:

ak $x > y$ , tak $F_{3} (x, y, z) = 1$ ;
ak $x > z$ , tak $F_{3} (x, y, z) = 2$ ;
inak $F_{3} (x, y, z) = 3$ .

c) Zadefinujte ternárnu funkciu $F_{4} (x, y, z)$ tak, aby platilo:

ak $x > y + z$ , tak $F_{4} (x, y, z) = 1$ ;
ak $x < y$ , tak $F_{4} (x, y, z) = 2$ ;
inak $F_{4} (x, y, z) = 3$ .

d) Zadefinujte ternárnu funkciu $F_{5} (x, y, z)$ tak, aby platilo:

ak $x < y + z$ , tak $F_{5} (x, y, z) = 1$ ;
ak $x > y$ , tak $F_{5} (x, y, z) = 2$ ;
inak $F_{5} (x, y, z) = 3$ .

4.3. Verifikácia explicitných definícií

Prémiová domáca úloha du01. (1+2 body)

Podmienky. Pravidlá pre prémiové domáce úlohy nájdete na http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/#pdu.

Riešenia nespĺňajúce tam uvedené podmienky (vrátane adresáta a formátu e-mailu) vyradíme!

Zadanie. Dokážte podobne ako na prednáške, že:

a) (1 bod) vaša definícia funkcie $Max$ má vlastnosť $\max (a, b) = \max (b, a)$ ;

b) (2 body) vaša definícia funkcie ${Max}_{3}$ má vlastnosť ${Max}_{3} (a, b, c) = {Max}_{3} (b, a, c)$ .

Poznámka. Časti a) a b) budeme hodnotiť nezávisle. Pre posúdenie správnosti dôkazu nám musíte poslať aj vaše definície spomínaných funkcií.

Termín. Nedeľa 23. 2. 2014 o 24:00.

K riešeniam odoslaným najneskôr v piatok 21. 2. o 12:00 vám poskytneme spätnú väzbu a v prípade potreby možnosť opravy.

[CL] Záverečná poznámka. Uložte svoje riešenie a ukončite prostredie CL, teda kliknite tlačidlo [Save & Exit] v pravom hornom rohu alebo stlačte Alt + X.