Clausal Language (ver. 5.81.19, by P.J. Voda, J. Komara, J. Kluka)

4. CVIČENIE Z PREDMETU ÚVOD DO DEKLARATÍVNEHO PROGRAMOVANIA LS 2011/2012

ČASŤ A

http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/ex/ex04.zip

Dátum: 5. 3. 2012

Odporúčaná verzia CL: 5.81.20

WWW stránka predmetu: http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/

Kontakt: udp(zavináč)lists.dai.fmph.uniba.sk

Úvodná poznámka. Toto cvičenie je venované dyadickej číselnej sústave a operáciám na dyadickom zápise čísel – aritmetickým (ex04a) a symbolickým (ex04b).

Literatúra.

[1] J. Kľuka. Prednášky z Úvodu do deklaratívneho programovania LS 2011/2012.

http://ii.fmph.uniba.sk/cl/courses/1-AIN-505-udp/1112ls/udp-screen.pdf

[2] D. Guller. Poznámky k prednáškam z CL.

[3] J. Komara and P. J. Voda. Metamathematics of Computer Programming. 2001.

Poznámka. Nadpisy sú číslované podľa [1].

Preskočte nasledujúce komponenty po nadpis „CVIČENIE“.

? = 0

C V I Č E N I E

8. DYADICKÁ ČÍSELNÁ SÚSTAVA

Dyadický zápis čísla. Každé prirodzené číslo $n$ možno jednoznačne zapísať v tvare

n = ((\dots((0 \cdot 2 + d_{k}) \cdot 2 + d_{k \dot{-} 1})\dots) \cdot 2 + d_{2}) \cdot 2 + d_{1}

kde $d_{i} \in {1, 2}$ pre všetky $i ≦ k$ , $1 ≦ i$ .

Postupnosť $0$ $d_{k}$ $d_{k \dot{-} 1}$ … $d_{2}$ $d_{1}$ nazývame dyadickým zápisom (dyadickou reprezentáciou) čísla $n$ .

Napríklad

17 = (((0 \cdot 2 + 1) \cdot 2 + 1) \cdot 2 + 2) \cdot 2 + 1

Dyadický zápis čísla $17$ je teda

01121

8.1. Dyadické konštruktory

[CL] Dyadické konštruktory. V CL sú preddefinované funkcie

S_{1} (x) \equiv x 1 = 2 \cdot x + 1

S_{2} (x) \equiv x 2 = 2 \cdot x + 2

nazývané dyadické konštruktory. Pomocou nich môžeme konštruovať dyadický zápis čísel. Funkciu $S_{1} (n)$ môžeme chápať ako „pridaj číslicu 1 na koniec dyadického zápisu čísla $n$ “. Tomu zodpovedá aj spôsob jej zobrazenia: $n 1$ . Význam $S_{2}$ sa dá chápať analogicky.

[CL] Úloha. Vyhodnoťte nasledujúce dopyty (queries):

S1 S2 S1 S1(0) = n

50 = n & S1(n) = p & S2(n) = q

8.2. Dyadická diskriminácia

[CL] Dyadický formát. CL dokáže zobraziť hodnotu premennej v Query v dyadickom zápise pomocou dyadického formátu $N_{2}$ .

Syntax:

    hodnota = premenna:N2

Hodnota sa zobrazí akoby bola skonštruovaná z 0 pomocou konštruktorov $S_{1}$ a $S_{2}$ .

[CL] Úloha. Vyhodnoťte nasledujúce dopyty (queries):

17 = n:N2

17+12 = n & n = m:N2

S1 S2 S1 S2 S1(0) = n & n = m:N2

[CL] Dyadická diskriminácia. Každé prirodzené číslo je buď $0$ alebo dyadický zápis $n$ končí číslicou 1 alebo dyadický zápis $n$ končí číslicou 2. Tieto možnosti sú vzájomne výlučné.

n = 0 \lor \exists m n = m 1 \lor \exists m n = m 2

\neg (n = 0 \land \exists m n = m 1) \land \neg (n = 0 \land \exists m n = m 2) \land \neg (\exists m n = m 1 \land \exists m n = m 2)

Tieto 3 možnosti tvoria dyadickú diskrimináciu. CL pozná túto diskrimináciu. Používame ju v tvare

\dots \leftarrow t = 0

\dots \leftarrow t = m 1

\dots \leftarrow t = m 2

kde $t$ je ľubovoľný výraz (obyčajne argument funkcie) a $m$ je nová premenná (podobne ako pri monadickej diskriminácii).

Dyadickú diskrimináciu možno dosadiť do argumentov definovanej funkcie:

f (0) = \dots

f (m 1) = \dots m \dots

f (m 2) = \dots m \dots

V tomto cvičení používajte iba dyadickú diskrimináciu!

[CL] Úloha. Zadajte nasledujúce dopyty (queries) pre viacero rôznych hodnôt $n$ :

17 = n:N2 & n = 0

17 = n:N2 & n = S1(m)

17 = n:N2 & n = S1(m:N2)

17 = n:N2 & n = S2(m)

17 = n:N2 & n = S2(m:N2)

Dyadická rekurzia. Ak funkciu zadefinujeme tak, že všetky rekurzívne volania majú menší počet dyadických číslic ako pôvodný argument, teda

f (0) = \dots

f (m 1) = \dots f (m) \dots

f (m 2) = \dots f (m) \dots

hovoríme o dyadickej rekurzii. Dyadická rekurzia je špeciálnym prípadom všeobecnej (course-of-values) rekurzie, pretože

m < m 1 \land m < m 2

Všetky funkcie v tomto cvičení definujte iba dyadickou rekurziou!

8.3. Aritmetické operácie na dyadickom zápise čísel

Poznámka. Dyadickou rekurziou môžeme zadefinovať efektívne aritmetické operácie na prirodzených číslach s neobmedzenou presnosťou. Počet krokov potrebných na takto zadefinované operácie lineárne závisí od počtu číslic v dyadickom zápise argumentov operácie, nie od hodnoty argumentov.

Úloha. Nasledovník. Dyadickou rekurziou zadefinujte funkciu nasledovník $Succ (x) = x + 1$ .

Návod. Predstavte si dyadickú verziu sčítania, ako ste sa ho učili na základnej škole. Uvedomte si, kedy nastáva prenos do vyššieho rádu.

  0211 (11)     0212 (12)      0222 (14)
  +  1          +  1          +   1     
  ----          ----          -----     
  0212 (12)     0221 (13)     01111 (15)

Succ (0) = ?

Succ (x 1) = ?

Succ (x 2) = ?

Úloha. Sčítanie. Dyadickou rekurziou zadefinujte funkciu sčítanie $Add (x, y) = x + y$ .

Návod 1 (názorný). Predstavte si dyadickú verziu sčítania, ako ste sa ho učili na základnej škole. Rozoberte jednotlivé prípady:

    0    x1    x1    x1    x2    x2    x2
  + y   + 0   +y1   +y2   + 0   +y1   +y2
  ---   ---   ---   ---   ---   ---   ---
   ??    ??    ??    ??    ??    ??    ??

Na prenos do vyššieho rádu použite funkciu nasledovník ( $Succ$ ) z predchádzajúcej úlohy.

Návod 2 (algebraický). Uvedomte si, že $x 1 = 2 \cdot x + 1$ a že $x 2 = 2 \cdot x + 2$ . Preto napríklad $Add (x 1, y 2) = (2 \cdot x + 1) + (2 \cdot y + 2)$ . Upravte tento výraz tak, aby sa dal zapísať iba pomocou $S_{1}$ , $S_{2}$ , funkcie $Succ (x)$ a rekurzívneho volania $Add (x, y)$ , ktoré má hodnotu $x + y$ . Podobne postupujte aj v ostatných prípadoch.

Add (0, y) = ?

Add (x 1, 0) = ?

Add (x 1, y 1) = ?

Add (x 1, y 2) = ?

Add (x 2, 0) = ?

Add (x 2, y 1) = ?

Add (x 2, y 2) = ?

Úloha. Dvojnásobok. Dyadickou rekurziou zadefinujte funkciu dvojnásobok $Twice (x) = 2 \cdot x$ . Nepoužite žiadne pomocné funkcie, ani tie, ktoré ste doteraz naprogramovali.

Návod. Uvedomte si, že $x 1 = 2 \cdot x + 1$ a teda $Twice (x 1) = 2 \cdot (2 \cdot x + 1)$ . Upravte tento výraz tak, aby sa dal zapísať iba pomocou $S_{1}$ , $S_{2}$ a rekurzívneho volania $Twice (x)$ , ktoré má hodnotu $2 \cdot x$ . Podobne postupujte pri $Twice (x 2) = 2 \cdot (2 \cdot x + 2)$ .

Twice (x) = ?

Úloha. Násobenie. Dyadickou rekurziou zadefinujte funkciu násobenie $Mul (x, y) = x \cdot y$ .

Návod. Postupujte podobne ako pri funkcii $Twice$ . Použite funkcie $Twice$ a $Add$ . Dyadickú diskrimináciu použite iba na jeden argument.

Mul (x, y) = ?

Úloha. Umocnenie. Dyadickou rekurziou zadefinujte funkciu umocnenie $Exp (x, y) = x^{y}$ .

Návod. Postupujte podobne ako pri funkcii dvojnásobok, teda vyjadrite pomocou už zadefinovaných operácií a rekurzie $Exp (x, y)$ hodnoty $Exp (x, y 1) = x^{2 \cdot y + 1}$ a $Exp (x, y 2) = x^{2 \cdot y + 2}$ . Namiesto dvoch rovnakých rekurzívnych volaní použite priradenie do novej premennej (viď úvod ex03a).

Exp (x, y) = ?