Clausal Language (ver. 5.81.19, by P.J. Voda, J. Komara, J. Kluka)

9. CVIČENIE Z PREDMETU ÚVOD DO DEKLARATÍVNEHO PROGRAMOVANIA

ČASŤ A

http://ii.fmph.uniba.sk/cl/courses/1-AIN-505-udp/1011ls/ex/ex09.zip

Dátum: streda 13. 4. 2011

Odporúčaná verzia CL: 5.81.19

WWW stránka predmetu: http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/

Kontakt: udp(zavináč)lists.dai.fmph.uniba.sk

Úvodná poznámka. Toto cvičenie je venované binárnym stromom (ex09a) a binárnym vyhľadávacím stromom (ex09b).

Literatúra.

[1] J. Kľuka. Prednášky z Úvodu do deklaratívneho programovania LS 2010/2011.

http://ii.fmph.uniba.sk/cl/courses/1-AIN-505-udp/1011ls/udp-screen.pdf

[2] D. Guller. Poznámky k prednáškam z CL.

http://ii.fmph.uniba.sk/cl/courses/1-AIN-505-udp/clslov.pdf

[3] J. Komara and P. J. Voda. Metamathematics of Computer Programming. 2001.

http://ii.fmph.uniba.sk/cl/courses/1-INF-465-dp/1011ls/doc/meta2001.pdf

Poznámka. Nadpisy sú číslované podľa [1].

Preskočte nasledujúce komponenty po nadpis „CVIČENIE“.

? = 0

? \leftrightarrow ⊥

C V I Č E N I E

15. BINÁRNE STROMY

15.1. Kódovanie binárnych stromov

Kódovanie binárnych stromov párovými konštruktormi Binárne stromy budeme kódovať pomocou nasledujúcich párových konštruktorov.

Konštruktor $E \equiv •$ kóduje prázdny strom.
Konštruktor $Nd (x, l, r) \equiv \frac{x}{l ∣ r}$ kóduje uzol stromu, v ktorom je uložená hodnota $x$ , jeho ľavý potomok je zakódovaný číslom $l$ a pravý potomok číslom $r$ .

• = 0, 0

\frac{x}{l ∣ r} = 1, x, l, r

Príklad. Binárny strom môžeme zakódovať napríklad takto:

    Nd(0,Nd(1,Nd(3,E,E),Nd(4,E,E)),Nd(2,E,Nd(6,E,E)))

Uvedený kód binárneho stromu sa zobrazí nasledovne:

\frac{0}{\frac{1}{\frac{3}{• ∣ •} ∣ \frac{4}{• ∣ •}} ∣ \frac{2}{• ∣ \frac{6}{• ∣ •}}}

Tento príklad je zadefinovaný ako konštanta $T_{1}$ na konci tohto súboru. Môžete ju použiť na testovanie riešení úloh v tomto cvičení.

[CL] Diskriminácia na binárnych stromoch. CL dokáže diskriminovať hodnoty vytvorené konštruktormi $•$ a $\frac{x}{l ∣ r}$ .

Binárne stromy budeme dekódovať diskrimináciou na binárnych stromoch:

\dots \leftarrow t = •

\dots \leftarrow t = \frac{x}{l ∣ r}

Túto diskrimináciu môžeme tiež dosadiť do argumentov definovanej funkcie alebo predikátu:

f (•) = \dots

f (\frac{x}{l ∣ r}) = \dots

Predikát $Bt$ . Predikát $Bt (t)$ platí, ak $t$ je kódom binárneho stromu, teda ak sa dá vytvoriť pomocou konštruktorov $•$ a $\frac{x}{l ∣ r}$ .

Bt (•)

Bt (\frac{x}{l ∣ r}) \leftarrow N (x) \land Bt (l) \land Bt (r)

[CL] Predikát $Bt$ ako formát. Keď kód binárneho stromu priradíme premennej v query, implicitne sa zobrazí ako párovací výraz. Vyskúšajte napríklad query:

    Nd(3,E,E) = l & Nd(7,E,E) = r & Nd(5,l,r) = t

Predikát $Bt (t)$ je zadefinovaný tak, aby bol formátom – návodom na zobrazovanie hodnôt. Vďaka tomu ho môžeme použiť na zobrazovanie hodnôt v query vo forme binárnych stromov, napríklad:

    Nd(3,E,E) = l:Bt & Nd(7,E,E) = r:Bt & Nd(5,l,r) = t:Bt
    1,9,(0,0),0,0 = t:Bt
    T1 = v & v = t:Bt

Chyby pri kódovaní binárnych stromov. Ak necháme formátom $Bt$ zobraziť číslo, ktoré nekóduje binárny strom, vo výsledku sa objavia chybové hlásenia.

Častou chybou je použitie číselnej hodnoty v strome priamo, bez skonštruovania uzla ( $Nd$ ), v ktorom by bola uložená:

    Nd(5,3,7) = t:Bt

Inou častou chybou je použitie $0$ namiesto prázdneho stromu $•$ :

    Nd(5,Nd(3,0,0),Nd(7,0,0)) = t:Bt

Správne píšeme:

    Nd(5,Nd(3,E,E),Nd(7,E,E)) = t:Bt

15.2. Operácie na binárnych stromoch

Úloha. Zadefinujte funkciu $Sz (t) \equiv {∣ t ∣}_{b}$ , ktorá určí počet uzlov ( $Nd$ ) v binárnom strome $t$ .

Napríklad ${∣ \frac{4}{• ∣ •} ∣}_{b} = 1$ , ${∣ T_{1} ∣}_{b} = 6$ .

{∣ t ∣}_{b} = ?

Úloha. Zadefinujte funkciu $Reflect (t)$ , ktorá vytvorí zrkadlový obraz binárneho stromu $t$ .

Napríklad

Reflect (\frac{0}{\frac{1}{\frac{3}{• ∣ •} ∣ \frac{4}{• ∣ •}} ∣ \frac{2}{• ∣ \frac{6}{• ∣ •}}}) = \frac{0}{\frac{2}{\frac{6}{• ∣ •} ∣ •} ∣ \frac{1}{\frac{4}{• ∣ •} ∣ \frac{3}{• ∣ •}}}

Reflect (t) = ?

Úloha. Zadefinujte predikát $Inbt (a, t) \equiv a ϵ_{b} t$ , ktorý platí, ak je hodnota $a$ uložená v niektorom uzle stromu $t$ .

Napríklad $3 ϵ_{b} T_{1}$ , ale $\neg 5 ϵ_{b} T_{1}$ .

Návod. Predikát má nasledujúce vlastnosti:

\neg a ϵ_{b} •

a ϵ_{b} \frac{x}{l ∣ r} \leftrightarrow a = x \lor a ϵ_{b} l \lor a ϵ_{b} r

Pri definícii predikátu nie je možné použiť disjunkciu. Využite diskrimináciu na platnosť a neplatnosť predikátu. Negáciu (neplatnosť) predikátu zapisujeme symbolom ~ (napr. ~Inbt(a,t)).

a ϵ_{b} t \leftarrow ?

Úloha. Zadefinujte funkcie $Inorder (t)$ , $Preorder (t)$ a $Postorder (t)$ , ktoré vytvoria zoznam hodnôt uložených v uzloch binárneho stromu $t$ v príslušnom poradí.

Napríklad $Inorder (T_{1}) = 3, 1, 4, 0, 2, 6, 0$ ; $Preorder (T_{1}) = 0, 1, 3, 4, 2, 6, 0$ ; $Postorder (T_{1}) = 3, 4, 1, 6, 2, 0, 0$ .

Inorder (t) = ?

Preorder (t) = ?

Postorder (t) = ?

Úloha. Zadefinujte funkciu $Inordera (t, as)$ , ktorá bez použitia zreťazenia vytvorí zoznam hodnôt uložených v uzloch binárneho stromu $t$ v poradí inorder nasledovaný zoznamom $as$ .

Napríklad $Inordera (\frac{1}{\frac{2}{• ∣ •} ∣ \frac{3}{• ∣ •}}, 98, 99, 0) = 2, 1, 3, 98, 99, 0$ a $Inordera (T_{1}, 98, 99, 0) = 3, 1, 4, 0, 2, 6, 98, 99, 0$ .

Funkcia má vlastnosť

Bt (t) \to Inordera (t, as) = Inorder (t) \oplus as

(*)

a teda

Bt (t) \to Inordera (t, 0) = Inorder (t)

Nepoužite zreťazenie (++) ani žiadne pomocné funkcie.

Predstavte si zoznam $as$ ako zásobník, na ktorý postupne ukladáte hodnoty zo stromu $t$ od poslednej po prvú.

Definíciu funkcie $Inordera$ tiež môžete odvodiť z definície funkcie $Inorder$ a z vlastnosti (*).

Inordera (t, as) = ?

Úloha. Podobne ako v predchádzajúcej úlohe zadefinujte funkcie $Preordera (t, as)$ a $Postordera (t, as)$ s vlastnosťami

Bt (t) \to Preordera (t, as) = Preorder (t) \oplus as

Bt (t) \to Postordera (t, as) = Postorder (t) \oplus as

bez použitia zreťazenia alebo pomocných funkcií.

Preordera (t, as) = ?

Postordera (t, as) = ?

Testovací binárny strom. Konštantu $T_{1}$ môžete použiť na testovanie svojich riešení predchádzajúcich úloh.

T_{1} = \frac{0}{\frac{1}{\frac{3}{• ∣ •} ∣ \frac{4}{• ∣ •}} ∣ \frac{2}{• ∣ \frac{6}{• ∣ •}}}