Clausal Language (ver. 5.81.21, by P.J. Voda, J. Komara, J. Kluka)

6. CVIČENIE Z PREDMETU ÚVOD DO DEKLARATÍVNEHO PROGRAMOVANIA LS 2014/2015

ČASŤ B

http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/ex/ex06.zip

Dátum: 8. 4. 2015

Odporúčaná verzia CL: 5.81.21

WWW stránka predmetu: http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/

Kontakt: udp(zavináč)lists.dai.fmph.uniba.sk

Úvodná poznámka. Toto cvičenie je venované triedeniu zoznamov (ex06a) a reprezentácii konečných množín usporiadanými zoznamami bez opakovania (ex06b).

Literatúra.

[1] J. Kľuka. Prednášky z Úvodu do deklaratívneho programovania LS 2014/2015.

http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/udp-prednasky-2015.pdf

[2] D. Guller. Poznámky k prednáškam z CL.

[3] J. Komara and P. J. Voda. Metamathematics of Computer Programming. 2001.

Poznámka. Nadpisy sú číslované podľa [1].

Preskočte nasledujúce komponenty po nadpis „CVIČENIE“.

? = 0

? \leftrightarrow ⊥

(x) = x

C V I Č E N I E

13. ZOZNAMOVÁ REPREZENTÁCIA KONEČNÝCH MNOŽÍN

Reprezentácia množín usporiadanými zoznamami bez opakovania. Konečné množiny môžeme jednoducho reprezentovať zoznamami. Pri množinách je dôležitá iba príslušnosť prvku do množiny. Počet výskytov prvku ani poradie prvkov nie sú podstatné. Množiny môžeme preto reprezentovať usporiadanými zoznamami bez opakovania prvkov. Operácie na dvoch množinách potom dokážeme naprogramovať tak, aby počet krokov potrebných na ich vykonanie lineárne závisel od súčtu počtu prvkov v množinách.

[CL] Trichotomická diskriminácia. V nasledujúcich úlohách využijeme trichotomickú diskrimináciu:

\dots \leftarrow s < t

\dots \leftarrow s = t

\dots \leftarrow s > t

Úloha. Zadefinujte predikát $Set (xs)$ , ktorý platí, ak $xs$ je zoznam, ktorý reprezentuje množinu, teda usporiadaný a bez opakovania.

Definícia je podobná predikátu $Ord$ z ex08a.

Špecifikácia:

Set (xs) \leftrightarrow \forall ys \forall a \forall b \forall zs (xs = ys \oplus (a, b, zs) \to a < b)

Testovanie:

    Set_test = r:Results

Set (xs) \leftarrow ?

Set_(xs) = 1 \leftarrow Set (xs)

Set_(xs) = 0 \leftarrow \neg Set (xs)

Set_test = (Set_(0) =^{?} 1), (Set_(0, 0) =^{?} 1), (Set_(0, 1, 0) =^{?} 1), (Set_(1, 1, 0) =^{?} 0), (Set_(0, 0, 1, 0) =^{?} 0), (Set_(0, 1, 1, 0) =^{?} 0), (Set_(0, 1, 2, 0) =^{?} 1), (Set_(4, 5, 4, 0) =^{?} 0), (Set_(0, 2, 3, 4, 0) =^{?} 1), (Set_(4, 3, 2, 0, 0) =^{?} 0), (Set_(0, 2, 1, 3, 0) =^{?} 0), 0

Úloha. Zadefinujte predikát $Member (a, xs) \equiv (a \in xs)$ , ktorý platí, ak je $a$ prvkom množiny $xs$ .

Napríklad $4 \in 2, 4, 6, 8, 0$ a $\neg (5 \in 2, 4, 6, 8, 0)$ .

Využite (ale netestujte!), že $xs$ je množina. Ani v jednom z uvedených príkladov výpočet nesmie prejsť celý zoznam $2, 4, 6, 8, 0$ .

Špecifikácia:

Set (xs) \to a \in xs \leftrightarrow a &CLin; xs

Testovanie:

    Member_test = r:Results

a \in xs \leftarrow ?

(a \in_{*} xs) = 1 \leftarrow a \in xs

(a \in_{*} xs) = 0 \leftarrow \neg (a \in xs)

Member_test = ((0 \in_{*} 0) =^{?} 0), ((1 \in_{*} 0) =^{?} 0), ((0 \in_{*} 0, 0) =^{?} 1), ((1 \in_{*} 0, 0) =^{?} 0), ((0 \in_{*} 0, 2, 0) =^{?} 1), ((1 \in_{*} 0, 2, 0) =^{?} 0), ((2 \in_{*} 0, 2, 0) =^{?} 1), ((3 \in_{*} 0, 2, 0) =^{?} 0), ((4 \in_{*} 2, 4, 6, 8, 0) =^{?} 1), ((5 \in_{*} 2, 4, 6, 8, 0) =^{?} 0), 0

Extenzionalita. Všimnite si, že reprezentácia množín usporiadanými zoznamami bez opakovania je jednoznačná a teda má vlastnosť extenzionality: Množiny sú si rovné práve vtedy, keď majú tie isté prvky.

Set (xs) \land Set (ys) \to xs = ys \leftrightarrow \forall a (a &CLin; xs \leftrightarrow a &CLin; ys)

Úloha. Zadefinujte funkciu $Insert (xs, a) \equiv xs \cup {a}$ , ktorá vloží prvok $a$ do množiny $xs$ , teda vráti množinu, ktorá obsahuje všetky prvky $xs$ a prvok $a$ .

Napríklad $(2, 4, 6, 8, 0) \cup {5} = 2, 4, 5, 6, 8, 0$ a $(2, 4, 6, 8, 0) \cup {6} = 2, 4, 6, 8, 0$ .

Pozor na poradie argumentov a na fakt, že v množinách sa prvky neopakujú a sú usporiadané. Nepoužite žiadne pomocné funkcie ani predikáty (vrátane $Set$ a $Member$ ).

Špecifikácia:

Set (xs) \to Set (xs \cup {a})

Set (xs) \to \forall b (b &CLin; xs \cup {a} \leftrightarrow b = a \lor b &CLin; xs)

Testovanie:

    Insert_test = r:Results

xs \cup {a} = ?

Insert_test = (0 \cup {0} =^{?} (0, 0)), ((1, 0) \cup {0} =^{?} (0, 1, 0)), ((1, 0) \cup {2} =^{?} (1, 2, 0)), ((2, 0) \cup {2} =^{?} (2, 0)), ((2, 4, 6, 8, 0) \cup {5} =^{?} (2, 4, 5, 6, 8, 0)), ((2, 4, 6, 8, 0) \cup {6} =^{?} (2, 4, 6, 8, 0)), ((2, 4, 6, 8, 0) \cup {10} =^{?} (2, 4, 6, 8, 10, 0)), 0

Úloha. Zadefinujte funkciu $Delete (xs, a) \equiv xs ∖ {a}$ , ktorá odstráni prvok $a$ z množiny $xs$ , teda vráti množinu obsahujúcu všetky prvky $xs$ okrem $a$ .

Napríklad $(2, 4, 6, 8, 0) ∖ {6} = 2, 4, 8, 0$ a $(2, 4, 6, 8, 0) ∖ {5} = 2, 4, 6, 8, 0$ .

Pozor na poradie argumentov a na fakt, že v množinách sa prvky neopakujú a sú usporiadané. Nepoužite žiadne pomocné funkcie ani predikáty (vrátane $Set$ a $Member$ ). Ani v jednom z uvedených príkladov výpočet nesmie prejsť celý zoznam $2, 4, 6, 8, 0$ .

Špecifikácia:

Set (xs) \to Set (xs ∖ {a})

Set (xs) \to \forall b (b &CLin; xs ∖ {a} \leftrightarrow b \neq a \land b &CLin; xs)

Testovanie:

    Delete_test = r:Results

xs ∖ {a} = ?

Delete_test = (0 ∖ {0} =^{?} 0), ((1, 0) ∖ {0} =^{?} (1, 0)), ((1, 0) ∖ {2} =^{?} (1, 0)), ((2, 4, 6, 8, 0) ∖ {2} =^{?} (4, 6, 8, 0)), ((2, 4, 6, 8, 0) ∖ {6} =^{?} (2, 4, 8, 0)), ((2, 4, 6, 8, 0) ∖ {5} =^{?} (2, 4, 6, 8, 0)), ((2, 4, 6, 8, 0) ∖ {10} =^{?} (2, 4, 6, 8, 0)), 0

Úloha. Zadefinujte funkciu $Union (xs, ys) \equiv xs \cup ys$ , ktorá zjednotí množiny $xs$ a $ys$ .

Napríklad $(2, 4, 8, 9, 10, 0) \cup (1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 0) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 0$ .

Využite (ale netestujte!), že $xs$ a $ys$ sú množiny. Algoritmus pre zjednotenie je podobný zlúčeniu utriedených zoznamov, vo výsledku sa však žiadny prvok nesmie opakovať. Nepoužite žiadne pomocné funkcie ani predikáty (vrátane $Set$ a $Member$ ).

Špecifikácia:

Set (xs) \land Set (ys) \to Set (xs \cup ys)

Set (xs) \land Set (ys) \to \forall a (a &CLin; xs \cup ys \leftrightarrow a &CLin; xs \lor a &CLin; ys)

Testovanie:

    Union_test = r:Results

xs \cup ys = ?

Union_test = (0 \cup (3, 6, 0) =^{?} (3, 6, 0)), ((0, 9, 0) \cup 0 =^{?} (0, 9, 0)), ((4, 6, 0) \cup (4, 5, 0) =^{?} (4, 5, 6, 0)), ((4, 5, 0) \cup (4, 6, 0) =^{?} (4, 5, 6, 0)), ((0, 9, 0) \cup (3, 6, 0) =^{?} (0, 3, 6, 9, 0)), ((3, 6, 0) \cup (0, 9, 0) =^{?} (0, 3, 6, 9, 0)), ((2, 4, 8, 9, 10, 0) \cup (1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 0) =^{?} (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 0)), ((1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 0) \cup (2, 4, 8, 9, 10, 0) =^{?} (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 0)), 0

Úloha. Zadefinujte funkciu $Inter (xs, ys) \equiv xs \cap ys$ , ktorá vypočíta prienik množín $xs$ a $ys$ .

Napríklad $(2, 4, 8, 9, 10, 0) \cap (1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 0) = 2, 9, 0$ .

Využite (ale netestujte!), že $xs$ a $ys$ sú množiny. Použite podobný algoritmus ako pre zjednotenie. Nepoužite žiadne pomocné funkcie ani predikáty (vrátane $Set$ a $Member$ ).

Špecifikácia:

Set (xs) \land Set (ys) \to Set (xs \cap ys)

Set (xs) \land Set (ys) \to \forall a (a &CLin; xs \cap ys \leftrightarrow a &CLin; xs \land a &CLin; ys)

Testovanie:

    Inter_test = r:Results

xs \cap ys = ?

Inter_test = (0 \cap (3, 6, 0) =^{?} 0), ((0, 9, 0) \cap 0 =^{?} 0), ((4, 6, 0) \cap (4, 5, 0) =^{?} (4, 0)), ((4, 5, 0) \cap (4, 6, 0) =^{?} (4, 0)), ((0, 1, 9, 0) \cap (0, 3, 6, 9, 0) =^{?} (0, 9, 0)), ((0, 3, 6, 9, 0) \cap (0, 1, 9, 0) =^{?} (0, 9, 0)), ((2, 4, 8, 9, 10, 0) \cap (1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 0) =^{?} (2, 9, 0)), ((1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 0) \cap (2, 4, 8, 9, 10, 0) =^{?} (2, 9, 0)), 0

Úloha. Zadefinujte funkciu $Diff (xs, ys) \equiv xs ∖ ys$ , ktorá vypočíta rozdiel množín $xs$ a $ys$ .

Napríklad $(2, 4, 8, 9, 10, 0) ∖ (1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 0) = 4, 8, 10, 0$ .

Platia rovnaké obmedzenia a odporúčania ako v predošlých úlohách.

Špecifikácia:

Set (xs) \land Set (ys) \to Set (xs ∖ ys)

Set (xs) \land Set (ys) \to \forall a (a &CLin; xs ∖ ys \leftrightarrow a &CLin; xs \land a \notin ys)

Testovanie:

    Diff_test = r:Results

xs ∖ ys = ?

Diff_test = (0 ∖ (3, 6, 0) =^{?} 0), ((0, 9, 0) ∖ 0 =^{?} (0, 9, 0)), ((4, 6, 0) ∖ (4, 5, 0) =^{?} (6, 0)), ((4, 5, 0) ∖ (4, 6, 0) =^{?} (5, 0)), ((0, 1, 9, 0) ∖ (0, 3, 6, 9, 0) =^{?} (1, 0)), ((0, 3, 6, 9, 0) ∖ (0, 1, 9, 0) =^{?} (3, 6, 0)), ((2, 4, 8, 9, 10, 0) ∖ (1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 0) =^{?} (4, 8, 10, 0)), ((1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 0) ∖ (2, 4, 8, 9, 10, 0) =^{?} (1, 3, 5, 6, 7, 0)), 0

Úloha. Zadefinujte funkciu $Sdiff (xs, ys) \equiv xs ▵ ys$ , ktorá vypočíta symetrický rozdiel množín $xs$ a $ys$ .

Napríklad $(2, 4, 8, 9, 10, 0) ▵ (1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 0) = 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 0$ .

Platia rovnaké obmedzenia a odporúčania ako v predošlých úlohách.

Špecifikácia:

Set (xs) \land Set (ys) \to Set (xs ▵ ys)

Set (xs) \land Set (ys) \to \forall a (a &CLin; xs ▵ ys \leftrightarrow a &CLin; xs \land a \notin ys \lor a \notin xs \land a &CLin; ys)

Testovanie:

    Sdiff_test = r:Results

xs ▵ ys = ?

Sdiff_test = (0 ▵ (3, 6, 0) =^{?} (3, 6, 0)), ((0, 9, 0) ▵ 0 =^{?} (0, 9, 0)), ((4, 6, 0) ▵ (4, 5, 0) =^{?} (5, 6, 0)), ((4, 5, 0) ▵ (4, 6, 0) =^{?} (5, 6, 0)), ((0, 1, 9, 0) ▵ (0, 3, 6, 9, 0) =^{?} (1, 3, 6, 0)), ((0, 3, 6, 9, 0) ▵ (0, 1, 9, 0) =^{?} (1, 3, 6, 0)), ((2, 4, 8, 9, 10, 0) ▵ (1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 0) =^{?} (1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 0)), ((1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 0) ▵ (2, 4, 8, 9, 10, 0) =^{?} (1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 0)), 0

Úloha. Zadefinujte predikát $Subset (xs, ys) \equiv (xs \subseteq ys)$ , ktorý platí, ak $xs$ je podmnožinou $ys$ .

Napríklad $2, 4, 8, 9, 10, 0 \subseteq 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 0$ a $\neg (2, 4, 8, 9, 10, 0 \subseteq 2, 4, 6, 8, 10, 0)$ .

Platia rovnaké obmedzenia a odporúčania ako v predošlých úlohách.

Špecifikácia:

Set (xs) \land Set (ys) \to xs \subseteq ys \leftrightarrow \forall a (a &CLin; xs \to a &CLin; ys)

Testovanie:

    Subset_test = r:Results

xs \subseteq ys \leftarrow ?

(a \subseteq_{*} xs) = 1 \leftarrow a \subseteq xs

(a \subseteq_{*} xs) = 0 \leftarrow \neg (a \subseteq xs)

Subset_test = ((0 \subseteq_{*} 0) =^{?} 1), ((0 \subseteq_{*} 1, 3, 5, 0) =^{?} 1), ((0, 0 \subseteq_{*} 0) =^{?} 0), ((5, 0 \subseteq_{*} 0) =^{?} 0), ((5, 0 \subseteq_{*} 3, 5, 7, 0) =^{?} 1), ((6, 0 \subseteq_{*} 3, 5, 7, 0) =^{?} 0), ((2, 4, 8, 9, 10, 0 \subseteq_{*} 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 0) =^{?} 1), ((1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 0 \subseteq_{*} 2, 4, 8, 9, 10, 0) =^{?} 0), ((2, 4, 8, 9, 10, 0 \subseteq_{*} 2, 4, 6, 8, 10, 0) =^{?} 0), ((2, 4, 6, 8, 10, 0 \subseteq_{*} 2, 4, 8, 9, 10, 0) =^{?} 0), ((2, 4, 6, 8, 10, 0 \subseteq_{*} 2, 4, 6, 8, 10, 0) =^{?} 1), 0

Prémiová domáca úloha du06. (7 bodov)

Pravidlá pre prémiové domáce úlohy nájdete na http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/#pdu

Jednotlivé časti úlohy budeme hodnotiť samostatne.

Časti a) a b) sa nachádzajú v súbore ex06a.

Definícia. Konečné čiastočné zobrazenie je zoznam dvojíc, ktoré sú ostro usporiadané podľa prvých zložiek.

Pmap (f) \leftrightarrow \forall p (p &CLin; f \to \exists x \exists y p = (x, y)) \land \forall g \forall u \forall v \forall x \forall y \forall h (f = g \oplus ((u, v), (x, y), h) \to u < x)

Všimnite si, že z ostrého usporiadania vyplýva, že v konečnom čiastočnom zobrazení sa nevyskytujú dve rôzne dvojice s rovnakou prvou zložkou.

Pmap (f) \land (x, y) &CLin; f \land (x, z) &CLin; f \to y = z

Napríklad $F_{1} = (0, 3), (1, 2), (2, 7), (4, 13), (5, 11), 0$ je konečným čiastočným zobrazením, ale zoznamy $xs = (0, 3), (1, 2), (2, 7), 0, (4, 12), (5, 11), 0$ , $ys = (0, 3), (2, 7), (1, 2), (3, 5), 0$ ani $zs = (0, 3), (1, 2), (1, 7), (2, 13), 0$ z rôznych dôvodov (akých?) nie sú konečnými čiastočnými zobrazeniami.

Konečné čiastočné zobrazenia sú špeciálnym typom asociatívnych zoznamov z prémiovej domácej úlohy du05 c) z cvičenia $Ex05a$ .

c) (1 bod) Zadefinujte predikát $Pmap (f)$ , ktorý platí práve vtedy, keď $f$ je konečným čiastočným zobrazením.

Pmap (f) \leftarrow ?

F_{1} = (0, 3), (1, 2), (2, 7), (4, 13), (5, 11), 0

Definícia. Ak dvojica $(x, y)$ patrí do konečného čiastočného zobrazenia $f$ , tak hodnotu $y$ nazývame obrazom hodnoty $x$ v zobrazení $f$ a hodnotu $x$ nazývame vzorom hodnoty $y$ v zobrazení $f$ .

Napríklad obrazom hodnoty $2$ vo vyššie uvedenom zobrazení $F_{1}$ je $7$ . Obraz hodnoty $3$ v zobrazení $F_{1}$ neexistuje.

d) (1 bod) Zadefinujte funkciu $Apply (f, x)$ , ktorej hodnotou je $y, 0$ ak $y$ je obrazom hodnoty $x$ v zobrazení $f$ . Ak obraz $x$ neexistuje, hodnotou $Apply (f, x)$ je $0$ .

Využite, ale netestujte, že $f$ je konečným čiastočným zobrazením!

Špecifikácia

Pmap (f) \to (x, y) &CLin; f \leftrightarrow Apply (f, x) = y, 0

Pmap (f) \to \neg \exists y ((x, y) &CLin; f) \leftrightarrow Apply (f, x) = 0

alebo ekvivalentne

Pmap (f) \to Set Apply (f, x)

Pmap (f) \to (x, y) &CLin; f \leftrightarrow y &CLin; Apply (f, x)

Apply (f, x) = ?

Definícia. Definičným oborom konečného čiastočného zobrazenia $f$ nazývame množinu ( $Set$ ) všetkých vzorov v zobrazení $f$ .

Napríklad definičným oborom vyššie uvedeného zobrazenia $F_{1} = (0, 3), (1, 2), (2, 7), (4, 13), (5, 11), 0$ je $0, 1, 2, 4, 5, 0$ .

e) (1 bod) Zadefinujte funkciu $Domain (f)$ , ktorej hodnotou je definičný obor k. č. zobrazenia $f$ .

Využite, ale netestujte, že $f$ je konečným čiastočným zobrazením!

Pmap (f) \to Set Domain (f)

Pmap (f) \to x &CLin; Domain (f) \leftrightarrow Apply (f, x) \neq 0

Domain (f) = ?

Definícia. Obrazom konečnej množiny $xs$ v konečnom čiastočnom zobrazení $f$ nazývame konečnú množinu $f [xs]$ všetkých obrazov jednotlivých prvkov množiny $xs$ v zobrazení $f$ .

Pmap (f) \land Set (xs) \to Set (f [xs])

Pmap (f) \land Set (xs) \to y &CLin; f [xs] \leftrightarrow \exists x (x &CLin; xs \land (x, y) &CLin; f)

Napríklad obrazom množiny $2, 3, 4, 5, 7, 0$ vo vyššie uvedenom zobrazení $F_{1} = (0, 3), (1, 2), (2, 7), (4, 13), (5, 11), 0$ je $7, 11, 13, 0$ .

f) (1 body) Zadefinujte funkciu $Image (f, xs) \equiv f [xs]$ , ktorej hodnotou je obraz konečnej množiny $xs$ v k. č. zobrazení $f$ .

Využite, ale netestujte, že $f$ je konečným čiastočným zobrazením a $xs$ je konečnou množinou! Výsledkom musí byť konečná množina.

Nepoužite predchádzajúce funkcie okrem $Insert$ .

f [xs] = ?

Definícia. Zložením konečných čiastočných zobrazení $f$ a $g$ je konečné čiastočné zobrazenie $f \circ g$ , pre ktoré platí

(x, z) &CLin; f \circ g \leftrightarrow \exists y ((x, y) &CLin; g \land (y, z) &CLin; f)

alebo ekvivalentne pomocou $Apply$ :

Apply (g, x) = y, 0 \to Apply (f \circ g, x) = Apply (f, y)

Apply (g, x) = 0 \to Apply (f \circ g, x) = 0

Napríklad

F_{1} = (0, 3), (1, 2), (2, 7), (4, 13), (5, 11), 0

F_{2} = (0, 1), (1, 0), (2, 3), (3, 2), (4, 5), (5, 4), (6, 7), (7, 6), 0

F_{1} \circ F_{2} = (0, 2), (1, 3), (3, 7), (4, 11), (5, 13), 0

g) (1 bod) Zadefinujte funkciu $Composition (f, g) \equiv f \circ g$ , ktorej hodnotou je zloženie k. č. zobrazení $f$ a $g$ .

Pmap (f) \land Pmap (g) \to Pmap (f \circ g)

Pmap (f) \land Pmap (g) \to (x, z) &CLin; f \circ g \leftrightarrow \exists y ((x, y) &CLin; g \land (y, z) &CLin; f)

Využite, ale netestujte, že $f$ a $g$ sú konečnými čiastočnými zobrazeniami. Využite predchádzajúce funkcie podľa potreby.

f \circ g = ?

F_{2} = (0, 1), (1, 0), (2, 3), (3, 2), (4, 5), (5, 4), (6, 7), (7, 6), 0