Clausal Language (ver. 5.81.20, by P.J. Voda, J. Komara, J. Kluka)

8. CVIČENIE Z PREDMETU ÚVOD DO DEKLARATÍVNEHO PROGRAMOVANIA LS 2013/2014

ČASŤ B

http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/ex/ex08.zip

Dátum: 8. a 9. 4. 2014

Odporúčaná verzia CL: 5.81.20

WWW stránka predmetu: http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/

Kontakt: udp(zavináč)lists.dai.fmph.uniba.sk

Úvodná poznámka. Toto cvičenie je venované binárnym stromom (ex08a) a binárnym vyhľadávacím stromom (ex08b).

Literatúra.

[1] J. Kľuka. Prednášky z Úvodu do deklaratívneho programovania LS 2013/2014.

http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/udp-prednasky-2014.pdf

[2] D. Guller. Poznámky k prednáškam z CL.

[3] J. Komara and P. J. Voda. Metamathematics of Computer Programming. 2001.

Poznámka. Nadpisy sú číslované podľa [1].

Preskočte nasledujúce komponenty po nadpis „CVIČENIE“.

• = 0, 0

\frac{x}{l ∣ r} = 1, x, l, r

Bt (•)

Bt (\frac{x}{l ∣ r}) \leftarrow N (x) \land Bt (l) \land Bt (r)

a ϵ_{b} \frac{x}{l ∣ r} \leftarrow a = x

a ϵ_{b} \frac{x}{l ∣ r} \leftarrow a \neq x \land a ϵ_{b} l

a ϵ_{b} \frac{x}{l ∣ r} \leftarrow a \neq x \land \neg a ϵ_{b} l \land a ϵ_{b} r

C V I Č E N I E

15.4. Binárne vyhľadávacie stromy

Definícia. Binárny strom $t$ je vyhľadávací, ak pre každý jeho podstrom $\frac{x}{l ∣ r}$ platí, že prvky nachádzajúce sa v ľavom dieťati $l$ sú menšie ako $x$ a prvky nachádzajúce sa v pravom dieťati $r$ sú väčšie ako $x$ .

Vlastnosť „ $t$ je binárnym vyhľadávacím stromom“ budeme označovať predikátom $Bst (t)$ . Výsledkom nasledujúcich dvoch úloh je rekurzívna definícia tohto predikátu.

Príklad. Nasledujúci binárny strom $T_{1}$ je vyhľadávací.

T_{1} = \frac{12}{\frac{5}{\frac{2}{\frac{0}{• ∣ •} ∣ \frac{4}{\frac{3}{• ∣ •} ∣ •}} ∣ \frac{7}{• ∣ \frac{9}{• ∣ •}}} ∣ \frac{20}{\frac{15}{• ∣ •} ∣ \frac{25}{\frac{22}{• ∣ •} ∣ •}}}

Úloha. Rekurziou na binárnych stromoch zadefinujte predikáty $Lt (a, t) \equiv a ≺ t$ a $Gt (a, t) \equiv a ≻ t$ . Predikát $a ≺ t$ platí, ak $a$ je menšie ako všetky hodnoty uložené v strome $t$ . Predikát $a ≻ t$ platí, ak $a$ je väčšie ako všetky hodnoty uložené v strome $t$ .

Špecifikácia:

Bt (t) \to a ≺ t \leftrightarrow \forall x (x ϵ_{b} t \to a < x)

Bt (t) \to a ≻ t \leftrightarrow \forall x (x ϵ_{b} t \to a > x)

Testovanie:

    Lt_test = r:Results
    Gt_test = r:Results

a ≺ t \leftarrow ?

a ≻ t \leftarrow ?

(a ≺_{*} t) = 0 \leftarrow \neg a ≺ t

(a ≺_{*} t) = 1 \leftarrow a ≺ t

(a ≻_{*} t) = 0 \leftarrow \neg a ≻ t

(a ≻_{*} t) = 1 \leftarrow a ≻ t

Lt_test = ((0 ≺_{*} •) =^{?} 1), ((5 ≺_{*} •) =^{?} 1), ((1 ≺_{*} t_{3}) =^{?} 1), ((3 ≺_{*} t_{3}) =^{?} 0), ((5 ≺_{*} t_{3}) =^{?} 0), ((0 ≺_{*} t_{4}) =^{?} 1), ((1 ≺_{*} t_{4}) =^{?} 1), ((2 ≺_{*} t_{4}) =^{?} 0), ((3 ≺_{*} t_{4}) =^{?} 0), ((4 ≺_{*} t_{4}) =^{?} 0), ((5 ≺_{*} t_{4}) =^{?} 0), 0 \leftarrow \frac{3}{• ∣ •} = t_{3} \land \frac{4}{\frac{3}{• ∣ •} ∣ \frac{3}{\frac{2}{• ∣ •} ∣ •}} = t_{4}

Gt_test = ((0 ≻_{*} •) =^{?} 1), ((5 ≻_{*} •) =^{?} 1), ((1 ≻_{*} t_{3}) =^{?} 0), ((3 ≻_{*} t_{3}) =^{?} 0), ((5 ≻_{*} t_{3}) =^{?} 1), ((0 ≻_{*} t_{4}) =^{?} 0), ((2 ≻_{*} t_{4}) =^{?} 0), ((4 ≻_{*} t_{4}) =^{?} 0), ((5 ≻_{*} t_{4}) =^{?} 1), ((6 ≻_{*} t_{4}) =^{?} 1), 0 \leftarrow \frac{3}{• ∣ •} = t_{3} \land \frac{1}{\frac{2}{• ∣ •} ∣ \frac{3}{\frac{4}{• ∣ •} ∣ •}} = t_{4}

Úloha. Zadefinujte predikát $Bst (t)$ , ktorý platí, keď $t$ je binárnym vyhľadávacím stromom. Predikát pomocou rekurzie na binárnych stromoch overí vyhľadávaciu vlastnosť v každom podstrome stromu $t$ . Použite predikáty $a ≺ t$ a $a ≻ t$ z predchádzajúcej úlohy.

Pozitívne príklady: $Bst (•)$ , $Bst (\frac{5}{• ∣ •})$ , $Bst (T_{1})$ .

Negatívne príklady: $\neg Bst (\frac{2}{\frac{2}{• ∣ •} ∣ \frac{4}{• ∣ •}})$ , $\neg Bst (\frac{6}{\frac{2}{\frac{3}{• ∣ •} ∣ \frac{5}{• ∣ •}} ∣ \frac{9}{\frac{7}{• ∣ •} ∣ \frac{8}{• ∣ •}}})$ .

Testovanie:

    Bst_test = r:Results

Bst (t) \leftarrow ?

Bst_(t) = 0 \leftarrow \neg Bst (t)

Bst_(t) = 1 \leftarrow Bst (t)

Bst_test = (Bst_(•) =^{?} 1), (Bst_(\frac{7}{• ∣ •}) =^{?} 1), (Bst_(t_{2}) =^{?} 0), (Bst_(t_{3}) =^{?} 1), (Bst_(\frac{3}{\frac{1}{• ∣ •} ∣ •}) =^{?} 1), (Bst_(\frac{6}{t_{2} ∣ \frac{9}{\frac{7}{• ∣ •} ∣ \frac{8}{• ∣ •}}}) =^{?} 0), (Bst_(\frac{6}{t_{3} ∣ \frac{8}{\frac{7}{• ∣ •} ∣ \frac{9}{• ∣ •}}}) =^{?} 1), (Bst_(\frac{6}{t_{3} ∣ \frac{8}{\frac{4}{• ∣ •} ∣ \frac{9}{• ∣ •}}}) =^{?} 0), 0 \leftarrow \frac{2}{\frac{3}{• ∣ •} ∣ \frac{5}{• ∣ •}} = t_{2} \land \frac{3}{\frac{2}{• ∣ •} ∣ \frac{5}{• ∣ •}} = t_{3}

Úloha. Zadefinujte predikát $Inbst (a, t) \equiv a \in t$ , ktorý platí, ak $a$ je hodnotou uloženou v binárnom vyhľadávacom strome.

Napríklad $4 \in T_{1}$ a $\neg 6 \in T_{1}$ .

Špecifikácia:

Bst (t) \to a \in t \leftrightarrow a ϵ_{b} t

Využite (ale netestujte ani nijak nezabezpečujte), že $t$ je vyhľadávací strom. Pri vyhľadávaní prvku stačí prejsť jedinú cestu v strome, na ktorej sa môže nachádzať.

Testovanie:

    Inbst_test = r:Results

a \in t \leftarrow ?

(a \in_{*} t) = 0 \leftarrow \neg a \in t

(a \in_{*} t) = 1 \leftarrow a \in t

Inbst_test = ((6 \in_{*} •) =^{?} 0), ((0 \in_{*} •) =^{?} 0), ((6 \in_{*} \frac{5}{• ∣ •}) =^{?} 0), ((6 \in_{*} \frac{6}{• ∣ •}) =^{?} 1), ((6 \in_{*} \frac{7}{• ∣ •}) =^{?} 0), ((0 \in_{*} \frac{7}{\frac{0}{• ∣ •} ∣ •}) =^{?} 1), ((6 \in_{*} t_{6}) =^{?} 1), ((2 \in_{*} t_{6}) =^{?} 1), ((5 \in_{*} t_{6}) =^{?} 1), ((8 \in_{*} t_{6}) =^{?} 1), ((9 \in_{*} t_{6}) =^{?} 1), ((0 \in_{*} t_{6}) =^{?} 0), ((4 \in_{*} t_{6}) =^{?} 0), ((10 \in_{*} t_{6}) =^{?} 0), 0 \leftarrow \frac{6}{\frac{3}{\frac{2}{• ∣ •} ∣ \frac{5}{• ∣ •}} ∣ \frac{8}{\frac{7}{• ∣ •} ∣ \frac{9}{• ∣ •}}} = t_{6}

Úloha. Zadefinujte funkciu $Insert (t, a) \equiv t \cup {a}$ , ktorá vloží hodnotu $a$ do binárneho vyhľadávacieho stromu $t$ .

Špecifikácia:

Bst (t) \to Bst (t \cup {a})

Bst (t) \to x \in t \cup {a} \leftrightarrow x = a \lor x \in t

Nepoužite žiadne pomocné funkcie ani predikáty (ani $Bst (t)$ a $a \in t$ ). Pri vynáraní z rekurzie je potrebné strom zrekonštruovať.

Testovanie:

    Insert_test = r:Results_bt

t \cup {a} = ?

Insert_test = (• \cup {6} =^{?} \frac{6}{• ∣ •}), (\frac{6}{• ∣ •} \cup {6} =^{?} \frac{6}{• ∣ •}), (\frac{6}{• ∣ •} \cup {5} =^{?} \frac{6}{\frac{5}{• ∣ •} ∣ •}), (\frac{6}{• ∣ •} \cup {7} =^{?} \frac{6}{• ∣ \frac{7}{• ∣ •}}), (t_{60} \cup {80} =^{?} t_{60}), (t_{60} \cup {0} =^{?} \frac{60}{\frac{30}{\frac{20}{\frac{0}{• ∣ •} ∣ •} ∣ \frac{50}{• ∣ •}} ∣ \frac{80}{\frac{70}{• ∣ •} ∣ \frac{90}{• ∣ •}}}), (t_{60} \cup {75} =^{?} \frac{60}{\frac{30}{\frac{20}{• ∣ •} ∣ \frac{50}{• ∣ •}} ∣ \frac{80}{\frac{70}{• ∣ \frac{75}{• ∣ •}} ∣ \frac{90}{• ∣ •}}}), (t_{60} \cup {100} =^{?} \frac{60}{\frac{30}{\frac{20}{• ∣ •} ∣ \frac{50}{• ∣ •}} ∣ \frac{80}{\frac{70}{• ∣ •} ∣ \frac{90}{• ∣ \frac{100}{• ∣ •}}}}), 0 \leftarrow \frac{60}{\frac{30}{\frac{20}{• ∣ •} ∣ \frac{50}{• ∣ •}} ∣ \frac{80}{\frac{70}{• ∣ •} ∣ \frac{90}{• ∣ •}}} = t_{60}

Zmazanie prvku z binárneho vyhľadávacieho stromu. Proces vymazávania hodnoty $a$ z binárneho vyhľadávacieho stromu $t$ sme opísali na prednáške. V nasledujúcich úlohách ho naprogramujeme ako rekurzívnu funkciu $Delete (t, a) \equiv t ∖ {a}$ . Použijeme pri tom dve pomocné funkcie:

Funkcia $Extract_max (t)$ vyberie z binárneho vyhľadávacieho stromu jeho maximum.
Funkcia $Join (s, t) \equiv s ⊔ t$ spojí stromy $s$ a $t$ , ktoré sú ľavým a pravým dieťaťom vymazávaného uzla, do nového binárneho vyhľadávacieho stromu.

Úloha. Zadefinujte funkciu $Extract_max (t)$ , ktorá pre neprázdny binárny vyhľadávací strom $t$ vráti dvojicu $m, t_{1}$ , kde

$m$ je maximálna hodnota uložená v strome $t$ ,
$t_{1}$ je binárny vyhľadávací strom, ktorý obsahuje rovnaké hodnoty ako $t$ okrem $m$ .

Špecifikácia:

Bst (t) \land t \neq • \to \exists m \exists t_{1} (Extract_max (t) = m, t_{1} \land m \in t \land Bst (t_{1}))

Bst (t) \land Extract_max (t) = m, t_{1} \land x \in t \to x ≦ m

Bst (t) \land Extract_max (t) = m, t_{1} \to x \in t_{1} \leftrightarrow x \neq m \land x \in t

Nepoužite žiadne pomocné funkcie. Výsledok rekurzívneho volania je pred použitím potrebné rozdeliť na zložky $m$ a $t_{1}$ podobne ako pri tuplingových funkciách v predchádzajúcich cvičeniach.

Testovanie:

    Extract_max_test = r:Results_n_bt

Extract_max (t) = ?, ?

Extract_max_test = (Extract_max (\frac{6}{• ∣ •}) =^{?} (6, •)), (Extract_max (\frac{7}{\frac{6}{• ∣ •} ∣ •}) =^{?} (7, \frac{6}{• ∣ •})), (Extract_max (\frac{1}{• ∣ \frac{2}{• ∣ •}}) =^{?} (2, \frac{1}{• ∣ •})), (Extract_max (\frac{5}{\frac{2}{• ∣ •} ∣ \frac{8}{• ∣ •}}) =^{?} (8, \frac{5}{\frac{2}{• ∣ •} ∣ •})), (Extract_max (T_{1}) =^{?} (25, \frac{12}{\frac{5}{\frac{2}{\frac{0}{• ∣ •} ∣ \frac{4}{\frac{3}{• ∣ •} ∣ •}} ∣ \frac{7}{• ∣ \frac{9}{• ∣ •}}} ∣ \frac{20}{\frac{15}{• ∣ •} ∣ \frac{22}{• ∣ •}}})), 0

Porovnanie všetkých hodnôt v dvoch binárnych stromoch. Nasledujúci predikát platí, ak sú všetky hodnoty v binárnom strome $s$ menšie ako všetky hodnoty v binárnom strome $t$ . Definícia s kvantifikátormi sa nedá vyhodnotiť, predikát slúži iba na špecifikáciu nasledujúcej funkcie $Join$ .

s ≺_{b} t \leftrightarrow \forall x \forall y (x ϵ_{b} s \land y ϵ_{b} t \to x < y)

Všimite si, že platí

Bst (\frac{x}{l ∣ r}) \to l ≺_{b} r

Úloha. Zadefinujte funkciu $Join (s, t) \equiv s ⊔ t$ , ktorá spojí dve bývalé deti uzla v binárnom vyhľadávacom strome do jedného binárneho vyhľadávacieho stromu.

Ak sú oba stromy neprázdne, funkcia vytvorí nový strom využitím výsledkov funkcie $Extract_max$ .

Ak je $s$ prázdny funkcia vráti $t$ . Ak je $s$ neprázdny a $t$ prázdny, funkcia vráti $s$ .

Špecifikácia:

Bst (s) \land Bst (t) \land s ≺_{b} t \to Bst (s ⊔ t)

Bst (s) \land Bst (t) \land s ≺_{b} t \to \forall x (x \in s ⊔ t \leftrightarrow x \in s \lor x \in t)

Použite iba funkciu $Extract_max$ . Nie je potrebná rekurzia.

Testovanie:

    Join_test = r:Results_bt

s ⊔ t = ?

Join_test = (• ⊔ \frac{5}{• ∣ •} =^{?} \frac{5}{• ∣ •}), (\frac{5}{• ∣ •} ⊔ • =^{?} \frac{5}{• ∣ •}), (\frac{4}{• ∣ •} ⊔ \frac{5}{• ∣ •} =^{?} \frac{4}{• ∣ \frac{5}{• ∣ •}}), (\frac{1}{\frac{0}{• ∣ •} ∣ \frac{2}{• ∣ \frac{4}{\frac{3}{• ∣ •} ∣ •}}} ⊔ \frac{5}{• ∣ •} =^{?} \frac{4}{\frac{1}{\frac{0}{• ∣ •} ∣ \frac{2}{• ∣ \frac{3}{• ∣ •}}} ∣ \frac{5}{• ∣ •}}), 0

Úloha. Zadefinujte funkciu $Delete (t, a) \equiv t ∖ {a}$ , ktorá zmaže hodnotu $a$ z binárneho vyhľadávacieho stromu $t$ .

Špecifikácia:

Bst (t) \to Bst (t ∖ {a})

Bst (t) \to x \in t ∖ {a} \leftrightarrow x \neq a \land x \in t

Použite iba rekurziu a funkciu $s ⊔ t$ .

Testovanie:

    Delete_test = r:Results_bt

t ∖ {a} = ?

Delete_test = (• ∖ {6} =^{?} •), (\frac{6}{• ∣ •} ∖ {6} =^{?} •), (\frac{5}{• ∣ •} ∖ {6} =^{?} \frac{5}{• ∣ •}), (\frac{7}{• ∣ •} ∖ {6} =^{?} \frac{7}{• ∣ •}), (\frac{2}{\frac{1}{• ∣ •} ∣ \frac{3}{• ∣ •}} ∖ {2} =^{?} \frac{1}{• ∣ \frac{3}{• ∣ •}}), (\frac{7}{\frac{6}{\frac{5}{• ∣ •} ∣ •} ∣ •} ∖ {5} =^{?} \frac{7}{\frac{6}{• ∣ •} ∣ •}), (\frac{7}{\frac{6}{\frac{5}{• ∣ •} ∣ •} ∣ •} ∖ {6} =^{?} \frac{7}{\frac{5}{• ∣ •} ∣ •}), (\frac{1}{• ∣ \frac{2}{• ∣ \frac{3}{• ∣ •}}} ∖ {3} =^{?} \frac{1}{• ∣ \frac{2}{• ∣ •}}), (\frac{1}{• ∣ \frac{2}{• ∣ \frac{3}{• ∣ •}}} ∖ {2} =^{?} \frac{1}{• ∣ \frac{3}{• ∣ •}}), (T_{1} ∖ {5} =^{?} \frac{12}{\frac{4}{\frac{2}{\frac{0}{• ∣ •} ∣ \frac{3}{• ∣ •}} ∣ \frac{7}{• ∣ \frac{9}{• ∣ •}}} ∣ \frac{20}{\frac{15}{• ∣ •} ∣ \frac{25}{\frac{22}{• ∣ •} ∣ •}}}), 0

Query:

Heap used: 517100 free: 133699540

Time used: 0:0:0:79