Clausal Language (ver. 5.81.20, by P.J. Voda, J. Komara, J. Kluka)

7. CVIČENIE Z PREDMETU ÚVOD DO DEKLARATÍVNEHO PROGRAMOVANIA LS 2013/2014

ČASŤ B

http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/ex/ex07.zip

Dátum: 1. a 2. 4. 2014

Odporúčaná verzia CL: 5.81.20

WWW stránka predmetu: http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/

Kontakt: udp(zavináč)lists.dai.fmph.uniba.sk

Úvodná poznámka. Toto cvičenie je venované kombinatorickým úlohám na zoznamoch – rozpoznávaniu rôznych druhov podzoznamov a generovaniu zoznamov všetkých týchto podzoznamov. Budeme študovať súvislé úseky (ex07a) a podpostupnosti a permutácie (ex07b).

Literatúra.

[1] J. Kľuka. Prednášky z Úvodu do deklaratívneho programovania LS 2013/2014.

http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/udp-prednasky-2014.pdf

[2] D. Guller. Poznámky k prednáškam z CL.

[3] J. Komara and P. J. Voda. Metamathematics of Computer Programming. 2001.

Poznámka. Nadpisy sú číslované podľa [1].

Preskočte nasledujúce komponenty po nadpis „CVIČENIE“.

C V I Č E N I E

14. KOMBINATORICKÉ FUNKCIE NA ZOZNAMOCH

Pridanie znaku na začiatok viacerých reťazcov. Funkcia $Map_pair (a, xss)$ z časti A pridá prvok $a$ na začiatok každého zoznamu v zozname zoznamov $xss$ (znak $a$ na začiatok každého reťazca v zozname reťazcov $xss$ ).

ys &CLin; Map_pair (a, xss) \leftrightarrow \exists xs (ys = (a, xs) \land xs &CLin; xss)

Ch (a) \land Lstr (xss) \to Lstr Map_pair (a, xss)

Map_pair (a, 0) = 0

Map_pair (a, xs, xss) = (a, xs), Map_pair (a, xss)

14.2. Vybrané podpostupnosti

Vybraná podpostupnosť. Predikát $Subseq (ys, xs) \equiv (ys ◁ xs)$ platí práve vtedy, keď zoznam $ys$ je vybranou podpostupnosťou zoznamu $xs$ . To znamená, že $ys$ vznikne vynechaním niektorých prvkov zo zoznamu $xs$ (aj žiadnych alebo všetkých). Vzájomné poradie zostávajúcich prvkov sa nezmení.

Presnejšie, zoznam $ys$ je vybranou podpostupnosťou zoznamu $xs = x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}, 0$ , ak

ys = x_{i_{1}}, \dots, x_{i_{k}}, 0

pre nejakú rastúcu postupnosť $i_{1}$ , $i_{2}$ , $\dots$ , $i_{k}$ indexov prvkov zoznamu $xs$ , teda $1 ≦ i_{1} < i_{2} < \dots < i_{k} ≦ n$ .

Formálne sa vzťah vybranej podpostupnosti k pôvodnému zoznamu dá vyjadriť pomocou funkcií dĺžka zoznamu ( $L (xs)$ ) a indexovania ( $xs [i]$ ) z 5. cvičenia a predikátu $Set$ zo 6. cvičenia nasledovne:

ys ◁ xs \leftrightarrow \exists is (Set (is) \land L (ys) = L (is) \land \forall i (i < L (is) \to is [i] < L (xs) \land ys [i] = xs [is [i]]))

Napríklad

◁ vsetko

veko ◁ vsetko

vsetko ◁ vsetko

\neg (svet ◁ vsetko)

\neg (sito ◁ vsetko)

Iné vyjadrenie využíva zreťazenie a rekurziu:

ys ◁ xs \leftrightarrow \forall {xs}_{1} \forall a \forall {xs}_{2} (xs = {xs}_{1} \oplus (a, {xs}_{2}) \to \exists {ys}_{1} \exists {ys}_{2} ({ys}_{1} ◁ {xs}_{1} \land {ys}_{2} ◁ {xs}_{2} \land (ys = {ys}_{1} \oplus (a, {ys}_{2}) \lor ys = {ys}_{1} \oplus {ys}_{2}))) \land (xs = 0 \to ys = 0)

Neformálne: Pre každý prvok $a$ v $xs$ , pred ktorým sa nachádzajú prvky ${xs}_{1}$ a za ktorým sa nachádzajú prvky ${xs}_{2}$ , sa podpostupnosť $ys$ dá rozdeliť na začiatočný úsek ${ys}_{1}$ , ktorý je podpostuposťou ${xs}_{1}$ , a koncový úsek ${ys}_{2}$ , ktorý je podpostuposťou ${xs}_{2}$ , pričom medzi týmito úsekmi sa môže nachádzať $a$ . Ak je $xs$ prázdny, je prázdna aj jeho podpostupnosť $ys$ .

Toto vyjadrenie síce nie je vypočítateľné, ale môžeme z neho ľahšie odvodiť pomôcku pre nájdenie funkcie vytvárajúcej zoznam všetkých vybraných podpostupností.

Konkrétne, v nasledujúcej úlohe využijeme, že

jedinou vybranou podpostupnosťou prázdneho zoznamu je prázdny zoznam:

$ys ◁ 0 \leftrightarrow ys = 0$ (Subseq_zero)
vybranými podpostupnosťami neprázdneho zoznamu $x, xs$ sú

a) všetky zoznamy $x, zs$ , kde $zs$ je vybranou podpostupnosťou zoznamu $xs$ ,

b) všetky podpostupnosti zoznamu $xs$ ,

teda

$ys ◁ (x, xs) \leftrightarrow \exists zs (ys = (x, zs) \land zs ◁ xs) \lor ys ◁ xs$ (Subseq_pair)

Úloha. Zadefinujte funkciu $Subseqs (xs)$ , ktorej hodnotou je zoznam všetkých vybraných podpostupností zoznamu (reťazca) $xs$ . Funkciu zadefinujte zoznamovou rekurziou. Využite vlastnosti vybraných podpostupností z predchádzajúcej poznámky a funkciu $Map_pair$ .

Špecifikácia:

ys &CLin; Subseqs (xs) \leftrightarrow ys ◁ xs

Str (xs) \to Lstr Subseqs (xs)

Napríklad:

Subseqs (ak) = ak, a, k,, 0

Subseqs (tak) = tak, ta, tk, t, ak, a, k,, 0

Na poradí reťazcov vo výslednom zozname nezáleží.

Testovanie.

    Subseqs_test = r:Results_lstr

Subseqs (xs) = ?

Subseqs_test = (Subseqs () =_{ϵ}^{?} (, 0)), (Subseqs (y) =_{ϵ}^{?} (y,, 0)), (Subseqs (ak) =_{ϵ}^{?} (ak, a, k,, 0)), (Subseqs (tak) =_{ϵ}^{?} (tak, ta, tk, t, ak, a, k,, 0)), 0

14.3. Permutácie

Permutácia. Predikát $xs \sim ys$ ([1, 6. prednáška], cvičenie ex06a) platí práve vtedy, keď zoznam $xs$ je permutáciou zoznamu $ys$ .

xs \sim ys \leftrightarrow \forall a #_{a} (xs) = #_{a} (ys)

Cieľom nasledujúcich úloh je zadefinovať funkciu $Perms (xs)$ , ktorej hodnotou je zoznam všetkých permutácií zoznamu $xs$ . Aby sme našli definíciu $Perms (xs)$ zoznamovou rekurziou, potrebujeme vyjadriť permutácie zoznamu $x, xs$ pomocou permutácií zoznamu $xs$ .

Vsunutie prvku do zoznamu. Predikát $Insertion (ys, xs, a) \equiv (ys \approx xs [↓ a])$ platí práve vtedy, keď zoznam $ys$ vznikne vsunutím prvku $a$ do zoznamu $xs$ :

ys \approx xs [↓ a] \leftrightarrow \exists us \exists vs (xs = us \oplus vs \land ys = us \oplus (a, vs))

Vlastnosti predikátu $Insertion$ :

ys \approx 0 [↓ a] \leftrightarrow ys = (a, 0)

(Insertion_zero)

ys \approx (x, xs) [↓ a] \leftrightarrow ys = (a, x, xs) \lor \exists zs (ys = (x, zs) \land zs \approx xs [↓ a])

(Insertion_pair)

Úloha. Zadefinujte funkciu $Interleave (a, xs)$ , ktorej hodnotou je zoznam všetkých vsunutí prvku (znaku) $a$ do zoznamu (reťazca) $xs$ . Využite vlastnosti (Insertion_zero) a (Insertion_pair).

Špecifikácia:

ys &CLin; Interleave (a, xs) \leftrightarrow ys \approx xs [↓ a]

Ch (a) \land Str (xs) \to Lstr Interleave (a, xs)

Napríklad:

Interleave (#,) = #, 0

Interleave (#, ak) = #ak, a#k, ak#, 0

Interleave (#, tak) = #tak, t#ak, ta#k, tak#, 0

Testovanie.

    Interleave_test = r:Results_lstr

Interleave (a, xs) = ?

Interleave_test = (Interleave (#,) =_{ϵ}^{?} (#, 0)), (Interleave (#, y) =_{ϵ}^{?} (#y, y#, 0)), (Interleave (#, ak) =_{ϵ}^{?} (#ak, a#k, ak#, 0)), (Interleave (#, tak) =_{ϵ}^{?} (#tak, t#ak, ta#k, tak#, 0)), 0

Úloha. Vsunutie prvku do viacerých zoznamov. Zadefinujte funkciu $Conc_map_i (a, xss)$ , ktorej hodnotou je zoznam všetkých vsunutí prvku (znaku) $a$ do všetkých zoznamov (reťazcov) v $xss$ . Použite funkciu $Interleave$ a zreťazenie.

Špecifikácia:

ys &CLin; Conc_map_i (a, xss) \leftrightarrow \exists xs (xs &CLin; xss \land ys \approx xs [↓ a])

Ch (a) \land Lstr (xss) \to Lstr Conc_map_i (a, xss)

Napríklad:

Conc_map_i (#, (tak,, @, 0)) = (#tak, t#ak, ta#k, tak#, 0) \oplus (#, 0) \oplus (#@, @#, 0) = #tak, t#ak, ta#k, tak#, #, #@, @#, 0

Testovanie.

    Conc_map_i_test = r:Results_lstr

Conc_map_i (a, xss) = ?

Conc_map_i_test = (Conc_map_i (#, 0) =_{ϵ}^{?} 0), (Conc_map_i (*, (2x, 0)) =_{ϵ}^{?} (*2x, 2*x, 2x*, 0)), (Conc_map_i (#, (tak,, @, 0)) =_{ϵ}^{?} (#tak, t#ak, ta#k, tak#, #, #@, @#, 0)), 0

Rekurzívne vlastnosti permutácií. Pomocou predikátu $Insertion$ môžeme vyjadriť vlastnosti permutácií, ktoré nám pomôžu pri rekurzívnej definícii funkcie, ktorá vytvorí ich zoznam. Platí:

jedinou permutáciou prázdneho zoznamu je prázdny zoznam:

$ys \sim 0 \leftrightarrow ys = 0$ (Perm_zero)
každá permutácia neprázdneho zoznamu $x, xs$ vznikne vsunutím prvku $x$ do niektorej permutácie zoznamu $xs$ :

$ys \sim (x, xs) \leftrightarrow \exists zs (ys \approx zs [↓ x] \land zs \sim xs)$ (Perm_pair)

Úloha. Zadefinujte funkciu $Perms (xs)$ , ktorej hodnotou je zoznam všetkých permutácií zoznamu (reťazca) $xs$ . Funkciu zadefinujte zoznamovou rekurziou. Využite vlastnosti permutácií z predchádzajúcej poznámky a funkciu $Conc_map_i$ .

Napríklad:

Perms (ak) = ak, ka, 0

Perms (tak) = tak, atk, akt, tka, kta, kat, 0

Na poradí reťazcov vo výslednom zozname nezáleží.

Špecifikácia:

ys &CLin; Perms (xs) \leftrightarrow ys \sim xs

Str (xs) \to Lstr Perms (xs)

Testovanie.

    Perms_test = r:Results_lstr
    Perms('Perms') = pss:Lstr & L(pss) = n

Perms (xs) = ?

Perms_test = (Perms () =_{ϵ}^{?} (, 0)), (Perms (k) =_{ϵ}^{?} (k, 0)), (Perms (ak) =_{ϵ}^{?} (ak, ka, 0)), (Perms (tak) =_{ϵ}^{?} (tak, atk, akt, tka, kta, kat, 0)), 0

14.4. Ďalšie úlohy

Prémiová domáca úloha du07. (1 bod)

Pravidlá pre prémiové domáce úlohy nájdete na http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/#pdu.

Zadanie. Zadefinujte funkciu $Kvars (k, xs)$ , ktorej hodnotou je zoznam všetkých $k$ -prvkových variácií bez opakovania prvkov zoznamu (znakov reťazca) $xs$ .

Špecifikácia. $k$ -prvková variácia bez opakovania prvkov zoznamu $xs$ je permutácia nejakej $k$ -prvkovej vybranej podpostupnosti zoznamu $xs$ .

Kvar (ys, k, xs) \leftrightarrow L (ys) = k \land \exists zs (zs ◁ xs \land ys \sim zs)

ys &CLin; Kvars (k, xs) \leftrightarrow Kvar (ys, k, xs)

N (k) \land Str (xs) \to Lstr Kvars (k, xs)

Príklady. (Na poradí reťazcov vo výslednom zozname nezáleží.)

Kvars (0, hocijaky) =, 0

Kvars (7,) = 0

Kvars (2, aky) = ak, ka, ay, ya, ky, yk, 0

Kvars (3, aky) = aky, ayk, kay, kya, yak, yka, 0

Kvars (3, taky) = (tak, atk, akt, 0) \oplus (tka, kta, kat, 0) \oplus (tay, aty, ayt, 0) \oplus (tya, yta, yat, 0) \oplus (tky, kty, kyt, 0) \oplus (tyk, ytk, ykt, 0) \oplus (aky, ayk, kay, kya, yak, yka, 0)

Obmedzenia. Použite iba párovanie, zreťazenie, rekurzívne volanie a funkciu $Conc_map_i$ . Riešenie s inými pomocnými funkciami (napríklad filtrujúce zoznam všetkých permutácií podľa dĺžky) neakceptujeme.

Odporúčanie. Sformulujte si najprv podobné vlastnosti vybraných podpostupností dĺžky $k$ ako (Perm_zero) a (Perm_pair):

Kvar (ys, 0, xs) \leftrightarrow ?

(Kvar_zero)

Kvar (ys, k + 1, 0) \leftrightarrow ?

(Kvar_empty)

Kvar (ys, k + 1, (x, xs)) \leftrightarrow ?

(Kvar_pair)

Testovanie.

    Kvars_test = r:Results_lstr

Kvars (k, xs) = ?

Kvars_test = (Kvars (0, hocijaky) =_{ϵ}^{?} (, 0)), (Kvars (7,) =_{ϵ}^{?} 0), (Kvars (2, aky) =_{ϵ}^{?} (ak, ka, ay, ya, ky, yk, 0)), (Kvars (3, aky) =_{ϵ}^{?} (aky, ayk, kay, kya, yak, yka, 0)), (Kvars (3, taky) =_{ϵ}^{?} {kvs}_{1} \oplus {kvs}_{2} \oplus {kvs}_{3}), 0 \leftarrow (tak, atk, akt, 0) \oplus (tka, kta, kat, 0) \oplus (tay, aty, ayt, 0) = {kvs}_{1} \land (tya, yta, yat, 0) \oplus (tky, kty, kyt, 0) \oplus (tyk, ytk, ykt, 0) = {kvs}_{2} \land (aky, ayk, kay, kya, yak, yka, 0) = {kvs}_{3}

Query:

Heap used: 444860 free: 133771780

Time used: 0:0:0:61