Clausal Language (ver. 5.81.20, by P.J. Voda, J. Komara, J. Kluka)

6. CVIČENIE (DOMÁCA ÚLOHA) Z PREDMETU ÚVOD DO DEKLARATÍVNEHO PROGRAMOVANIA LS 2013/2014

ČASŤ A

http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/ex/ex06.zip

Dátum: 27. 3. 2014

Odporúčaná verzia CL: 5.81.20

WWW stránka predmetu: http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/

Kontakt: udp(zavináč)lists.dai.fmph.uniba.sk

Úvodná poznámka. Toto cvičenie je venované triedeniu zoznamov (ex06a) a reprezentácii konečných množín usporiadanými zoznamami bez opakovania (ex06b).

Literatúra.

[1] J. Kľuka. Prednášky z Úvodu do deklaratívneho programovania LS 2013/2014.

http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/udp-prednasky-2014.pdf

[2] D. Guller. Poznámky k prednáškam z CL.

[3] J. Komara and P. J. Voda. Metamathematics of Computer Programming. 2001.

Poznámka. Nadpisy sú číslované podľa [1].

Preskočte nasledujúce komponenty po nadpis „CVIČENIE“.

? = 0

? \leftrightarrow ⊥

(x) = x

C V I Č E N I E

11. PREDIKÁTY

Prvok zoznamu. Zabudovaný predikát $a &CLin; xs$ platí práve vtedy, keď $a$ je prvkom zoznamu $xs$ , teda

a &CLin; xs \leftrightarrow \exists ys \exists zs xs = ys \oplus (a, zs)

Tento predikát je zadefinovaný zoznamovou rekurziou nasledovne:

a &CLin; x, xs \leftarrow a = x

a &CLin; x, xs \leftarrow a \neq x \land a &CLin; xs

Predikát $a &CLin; xs$ zapisujeme „ $a$ in $xs$ “, jeho negáciu $a \notin xs$ zapisujeme „ $a$ !in $xs$ “.

Budeme ho používať iba na špecifikáciu a definovanie špecifikačných predikátov. Nepoužívajte tento predikát vo funkciách, znížite tým ich efektivitu.

12. TRIEDENIE ZOZNAMOV

12.1. Špecifikácia triedenia

Úloha. Zadefinujte funkciu $Count (a, xs) \equiv #_{a} (xs)$ , ktorá zistí počet výskytov prvku $a$ v zozname $xs$ .

Špecifikácia:

Count (a, 0) = 0

Count (a, xs \oplus (a, ys)) = 1 + Count (a, xs \oplus ys)

a \neq x \to Count (a, xs \oplus (x, ys)) = Count (a, xs \oplus ys)

Napríklad $#_{1} (6, 3, 1, 2, 7, 1, 0) = 2$ a $#_{9} (6, 3, 1, 2, 7, 1, 0) = 0$ .

Testovanie:

    Count_test = r:Results

#_{a} (xs) = ?

Count_test = (#_{1} (0) =^{?} 0), (#_{1} (7, 0) =^{?} 0), (#_{1} (1, 0) =^{?} 1), (#_{1} (1, 7, 0) =^{?} 1), (#_{1} (7, 1, 0) =^{?} 1), (#_{1} (6, 3, 1, 2, 7, 1, 0) =^{?} 2), (#_{9} (6, 3, 1, 2, 7, 1, 0) =^{?} 0), 0

Permutácia zoznamu. Predikát $xs \sim ys$ platí práve vtedy, keď zoznam $xs$ je permutáciou zoznamu $ys$ . Táto vlastnosť sa dá vyjadriť porovnaním počtu výskytov prvkov v oboch zoznamoch nasledujúcou definíciou, podľa ktorej ale nie je možné platnosť predikátu počítať.

Poznámka. Vypočítateľná definícia je predmetom častí a) a b) prémiovej domácej úlohy na konci tohto súboru.

xs \sim ys \leftrightarrow \forall a #_{a} (xs) = #_{a} (ys)

Úloha. Zadefinujte predikát $Ord (xs)$ , ktorý platí práve vtedy, keď je $xs$ vzostupne usporiadaný zoznam, v ktorom sa prvky môžu opakovať.

Formálne:

Ord (xs) \leftrightarrow \forall ys \forall a \forall b \forall zs (xs = ys \oplus (a, b, zs) \to a ≦ b)

Napríklad

Ord (0, 2, 2, 3, 4, 4, 0)

\neg Ord (4, 4, 3, 2, 2, 0, 0)

\neg Ord (0, 2, 1, 3, 0)

Testovanie:

    Ord_test = r:Results

Predikát sa testuje prostredníctvom jeho charakteristickej funkcie $Ord_$ . Jej definíciu nemeňte.

Ord (xs) \leftarrow ?

Ord_(xs) = 1 \leftarrow Ord (xs)

Ord_(xs) = 0 \leftarrow \neg Ord (xs)

Ord_test = (Ord_(0) =^{?} 1), (Ord_(0, 0) =^{?} 1), (Ord_(1, 1, 0) =^{?} 1), (Ord_(0, 0, 1, 0) =^{?} 1), (Ord_(5, 5, 4, 0) =^{?} 0), (Ord_(0, 2, 2, 3, 4, 4, 0) =^{?} 1), (Ord_(4, 4, 3, 2, 2, 0, 0) =^{?} 0), (Ord_(0, 2, 1, 3, 0) =^{?} 0), 0

Definícia. Hovoríme, že funkcia $Sort (xs)$ je triedením zoznamov, ak platí

Ord Sort (xs)

xs \sim Sort (xs)

12.2. Triedenie vsúvaním – insertion sort

Úloha. Zadefinujte funkciu $Ins (a, xs)$ , ktorá vsunie prvok $a$ do utriedeného zoznamu $xs$ tak, aby výsledný zoznam bol utriedený.

Predpokladajte a využite, že zoznam $xs$ je utriedený, ale jeho utriedenie netestujte ani nijak inak nezabezpečujte. Správaním funkcie $Ins$ na neutriedenom zozname sa nezaoberajte.

Špecifikácia:

Ord (xs) \to Ord Ins (a, xs)

Ord (xs) \to (a, xs) \sim Ins (a, xs)

Napríklad $Ins (4, (1, 2, 3, 6, 12, 0)) = 1, 2, 3, 4, 6, 12, 0$ , $Ins (3, (1, 2, 3, 6, 12, 0)) = 1, 2, 3, 3, 6, 12, 0$ a $Ins (24, (1, 2, 3, 6, 12, 0)) = 1, 2, 3, 6, 12, 24, 0$

Testovanie:

    Ins_test = r:Results

Ins (a, xs) = ?

Ins_test = (Ins (0, 0) =^{?} (0, 0)), (Ins (0, (1, 0)) =^{?} (0, 1, 0)), (Ins (2, (1, 0)) =^{?} (1, 2, 0)), (Ins (2, (2, 0)) =^{?} (2, 2, 0)), (Ins (4, (1, 2, 3, 6, 12, 0)) =^{?} (1, 2, 3, 4, 6, 12, 0)), (Ins (3, (1, 2, 3, 6, 12, 0)) =^{?} (1, 2, 3, 3, 6, 12, 0)), (Ins (24, (1, 2, 3, 6, 12, 0)) =^{?} (1, 2, 3, 6, 12, 24, 0)), 0

Úloha. Použitím funkcie $Ins$ zadefinujte funkciu $Isort (xs)$ , ktorá utriedi ľubovoľný zoznam $xs$ vsúvaním.

Funkcia spĺňa vyššie uvedenú špecifikáciu triedenia:

Ord Isort (xs)

xs \sim Isort (xs)

Testovanie:

    Isort_test = r:Results

Isort (xs) = ?

Isort_test = (Isort (0) =^{?} 0), (Isort (3, 0) =^{?} (3, 0)), (Isort (0, 0, 0) =^{?} (0, 0, 0)), (Isort (2, 1, 3, 0) =^{?} (1, 2, 3, 0)), (Isort (3, 12, 3, 6, 9, 1, 3, 1, 0) =^{?} (1, 1, 3, 3, 3, 6, 9, 12, 0)), (Isort (1, 1, 3, 3, 3, 6, 9, 12, 0) =^{?} (1, 1, 3, 3, 3, 6, 9, 12, 0)), 0

12.3. Triedenie zlučovaním – merge sort

Úloha. Zadefinujte funkciu $Msplit (xs)$ , ktorá rozdelí zoznam $xs$ na dva zoznamy $ys$ a $zs$ tak, aby sa prvky z párnych miest v zozname $xs$ nachádzali v $ys$ a aby sa prvky z nepárnych miest v zozname $xs$ nachádzali v $zs$ (poradie počítame od 0).

Funkcia vždy vráti dvojicu zoznamov. Nepoužite žiadne pomocné funkcie ani predikáty.

Špecifikácia:

\exists ys \exists zs Msplit (xs) = (ys, zs)

Msplit (xs) = (ys, zs) \to xs \sim ys \oplus zs

Msplit (xs) = (ys, zs) \to L (ys) = L (zs) \lor L (ys) = L (zs) + 1

Msplit (xs) = (ys, zs) \to \forall i (xs [2 \cdot i] = ys [i] \land xs [2 \cdot i + 1] = zs [i])

Napríklad $Msplit (7, 3, 0, 1, 5, 5, 0) = (7, 0, 5, 0), (3, 1, 5, 0)$ a $Msplit (7, 3, 0, 1, 5, 5, 9, 0) = (7, 0, 5, 9, 0), (3, 1, 5, 0)$ .

Testovanie:

    Msplit_test = r:Results

Msplit (xs) = ?, ?

Msplit_test = (Msplit (0) =^{?} (0, 0)), (Msplit (3, 0) =^{?} ((3, 0), 0)), (Msplit (7, 9, 0) =^{?} ((7, 0), (9, 0))), (Msplit (4, 6, 1, 0) =^{?} ((4, 1, 0), (6, 0))), (Msplit (7, 3, 0, 1, 5, 5, 0) =^{?} ((7, 0, 5, 0), (3, 1, 5, 0))), (Msplit (7, 3, 0, 1, 5, 5, 9, 0) =^{?} ((7, 0, 5, 9, 0), (3, 1, 5, 0))), 0

Úloha. Zadefinujte funkciu $Merge (xs, ys)$ , ktorá zlúči dva utriedené zoznamy do utriedeného zoznamu.

Funkcia prechádza oboma zoznamami súčasne a nevyužíva žiadne pomocné funkcie ani predikáty. Splnenie požiadavky na utriedenie $xs$ a $ys$ predpokladajte, ale netestujte ani nezabezpečujte.

Špecifikácia:

Ord (xs) \land Ord (ys) \to Ord Merge (xs, ys)

Ord (xs) \land Ord (ys) \to xs \oplus ys \sim Merge (xs, ys)

Napríklad $Merge ((1, 5, 6, 7, 8, 10, 0), (2, 3, 4, 8, 9, 0)) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 0$ .

Testovanie:

    Merge_test = r:Results

Merge (xs, ys) = ?

Merge_test = (Merge (0, (3, 6, 6, 0)) =^{?} (3, 6, 6, 0)), (Merge ((8, 8, 0), 0) =^{?} (8, 8, 0)), (Merge ((4, 6, 0), (4, 5, 0)) =^{?} (4, 4, 5, 6, 0)), (Merge ((4, 5, 0), (4, 6, 0)) =^{?} (4, 4, 5, 6, 0)), (Merge ((0, 1, 1, 0), (1, 0)) =^{?} (0, 1, 1, 1, 0)), (Merge ((1, 5, 6, 7, 8, 10, 0), (2, 3, 4, 8, 9, 0)) =^{?} (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 0)), (Merge ((2, 3, 4, 8, 9, 0), (1, 5, 6, 7, 8, 10, 0)) =^{?} (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 0)), 0

Úloha. Zadefinujte funkciu $Msort (xs)$ , ktorá utriedi ľubovoľný zoznam $xs$ zlučovaním.

Použite funkcie $Msplit$ a $Merge$ . Pozor na zacyklenie.

Funkcia spĺňa vyššie uvedenú špecifikáciu triedenia:

Ord Msort (xs)

xs \sim Msort (xs)

Testovanie:

    Msort_test = r:Results

Msort (xs) = ?

Msort_test = (Msort (0) =^{?} 0), (Msort (3, 0) =^{?} (3, 0)), (Msort (0, 0, 0) =^{?} (0, 0, 0)), (Msort (2, 1, 3, 0) =^{?} (1, 2, 3, 0)), (Msort (3, 12, 3, 6, 9, 1, 3, 1, 0) =^{?} (1, 1, 3, 3, 3, 6, 9, 12, 0)), (Msort (1, 1, 3, 3, 3, 6, 9, 12, 0) =^{?} (1, 1, 3, 3, 3, 6, 9, 12, 0)), 0

Rýchle triedenie – quick sort

Úloha. Zadefinujte funkciu $Qsplit (p, xs)$ , ktorá rozdelí zoznam $xs$ na zoznamy $ys$ a $zs$ tak, aby $ys$ obsahoval prvky $xs$ menšie alebo rovnaké ako $p$ a $zs$ obsahoval prvky väčšie ako $p$ .

Funkcia vždy vráti dvojicu zoznamov. Prvok $p$ nepridávajte do žiadneho z výstupných zoznamov (ak sa nevyskytuje v $xs$ ). Nepoužite žiadne pomocné funkcie.

Špecifikácia:

\exists ys \exists zs Qsplit (p, xs) = (ys, zs)

Qsplit (p, xs) = (ys, zs) \to xs \sim ys \oplus zs

Qsplit (p, xs) = (ys, zs) \to \forall a (a &CLin; ys \to a ≦ p) \land \forall a (a &CLin; zs \to a > p)

Napríklad $Qsplit (5, (3, 7, 9, 2, 0, 8, 8, 4, 0)) = (3, 2, 0, 4, 0), (7, 9, 8, 8, 0)$ .

Testovanie:

    Qsplit_test = r:Results

Qsplit (p, xs) = ?, ?

Qsplit_test = (Qsplit (8, 0) =^{?} (0, 0)), (Qsplit (0, (0, 0, 0)) =^{?} ((0, 0, 0), 0)), (Qsplit (6, (7, 8, 9, 17, 7, 0)) =^{?} (0, (7, 8, 9, 17, 7, 0))), (Qsplit (5, (3, 7, 9, 2, 0, 8, 8, 4, 0)) =^{?} ((3, 2, 0, 4, 0), (7, 9, 8, 8, 0))), (Qsplit (5, (8, 1, 2, 12, 0, 0, 5, 0)) =^{?} ((1, 2, 0, 0, 5, 0), (8, 12, 0))), 0

Úloha. Naprogramujte funkciu $Qsort (xs)$ , ktorá utriedi ľubovoľný zoznam $xs$ algoritmom quick sort.

Ako pivot použite prvý prvok zoznamu. Použite funkciu $Qsplit$ na rozdelenie zoznamu podľa pivota. Rekurzívne utrieďte časti zoznamu a spojte ich navzájom a s pivotom pomocou zreťazenia a párovania.

Funkcia spĺňa vyššie uvedenú špecifikáciu triedenia:

Ord Qsort (xs)

xs \sim Qsort (xs)

Testovanie:

    Qsort_test = r:Results

Qsort (xs) = ?

Qsort_test = (Qsort (0) =^{?} 0), (Qsort (3, 0) =^{?} (3, 0)), (Qsort (0, 0, 0) =^{?} (0, 0, 0)), (Qsort (2, 1, 3, 0) =^{?} (1, 2, 3, 0)), (Qsort (3, 12, 3, 6, 9, 1, 3, 1, 0) =^{?} (1, 1, 3, 3, 3, 6, 9, 12, 0)), (Qsort (1, 1, 3, 3, 3, 6, 9, 12, 0) =^{?} (1, 1, 3, 3, 3, 6, 9, 12, 0)), 0

Prémiová domáca úloha du06. (1 + 1 + 1 + (1+1) + 1 = 6 bodov)

Pravidlá pre prémiové domáce úlohy nájdete na http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/#pdu

Jednotlivé časti úlohy budeme hodnotiť samostatne.

Časti c), d), e) sa nachádzajú v súbore ex06b.cl.

V tejto časti sa vrátime k špecifikácii triedenia.

a) (1 bod) Zadefinujte predikát $Eq_counts (zs, xs, ys)$ , ktorý platí práve vtedy, keď pre každý prvok $z$ zoznamu $zs$ je počet výskytov $z$ v zoznamoch $xs$ a $ys$ rovnaký.

Formálne:

Eq_counts (zs, xs, ys) \leftrightarrow \forall z (z &CLin; zs \to #_{z} (xs) = #_{z} (ys))

Napríklad

Eq_counts ((4, 2, 9, 0), (3, 4, 0, 2, 2, 4, 0), (0, 2, 2, 4, 4, 5, 0))

\neg Eq_counts ((0, 3, 5, 0), (3, 4, 0, 2, 2, 4, 0), (0, 2, 2, 4, 4, 5, 0))

Návod nájdete v [1, §12.1].

Testovanie:

    Eq_counts_test = r:Results

Eq_counts (zs, xs, ys) \leftarrow ?

Eq_counts_(zs, xs, ys) = 1 \leftarrow Eq_counts (zs, xs, ys)

Eq_counts_(zs, xs, ys) = 0 \leftarrow \neg Eq_counts (zs, xs, ys)

Eq_counts_test = (Eq_counts_(0, (3, 4, 0, 2, 2, 4, 0), (0, 2, 2, 4, 4, 5, 0)) =^{?} 1), (Eq_counts_((4, 0), (3, 4, 0, 2, 2, 4, 0), (0, 2, 2, 4, 4, 5, 0)) =^{?} 1), (Eq_counts_((5, 0), (3, 4, 0, 2, 2, 4, 0), (0, 2, 2, 4, 4, 5, 0)) =^{?} 0), (Eq_counts_((4, 2, 9, 0), (3, 4, 0, 2, 2, 4, 0), (0, 2, 2, 4, 4, 5, 0)) =^{?} 1), (Eq_counts_((0, 3, 5, 0), (3, 4, 0, 2, 2, 4, 0), (0, 2, 2, 4, 4, 5, 0)) =^{?} 0), 0

b) (1 bod) Zadefinujte predikát $Perm (xs, ys) \equiv (xs \sim ys)$ , ktorý platí práve vtedy, keď je zoznam $xs$ permutáciou zoznamu $ys$ , teda keď pre každé číslo $a$ je počet výskytov $a$ v zoznamoch $xs$ a $ys$ rovnaký.

Formálne:

xs \sim ys \leftrightarrow \forall a #_{a} (xs) = #_{a} (ys)

Použite predikát $Eq_counts (zs, xs, ys)$ s vhodne zvoleným zoznamom $zs$ , viď tiež [1, §12.1].

Napríklad

3, 4, 0, 2, 2, 4, 0 \sim 0, 2, 2, 3, 4, 4, 0

\neg (3, 4, 0, 2, 2, 4, 0 \sim 4, 4, 2, 2, 0, 0)

\neg (3, 4, 0, 2, 2, 4, 0 \sim 5, 4, 4, 3, 2, 2, 0, 0)

Testovanie:

    Perm_test = r:Results

xs \sim ys \leftarrow ?

Perm_(xs, ys) = 1 \leftarrow xs \sim ys

Perm_(xs, ys) = 0 \leftarrow \neg (xs \sim ys)

Perm_test = (Perm_(0, 0) =^{?} 1), (Perm_(0, 0, 0) =^{?} 0), (Perm_((0, 0), 0) =^{?} 0), (Perm_((1, 0, 8, 0), 0, 8, 1, 0) =^{?} 1), (Perm_((0, 8, 1, 0), 1, 0, 8, 0) =^{?} 1), (Perm_((8, 1, 0, 0), 1, 8, 0) =^{?} 0), (Perm_((1, 8, 0), 8, 1, 0, 0) =^{?} 0), (Perm_((3, 4, 0, 2, 2, 4, 0), 0, 2, 2, 3, 4, 4, 0) =^{?} 1), (Perm_((0, 2, 2, 3, 4, 4, 0), 3, 4, 0, 2, 2, 4, 0) =^{?} 1), (Perm_((3, 4, 0, 2, 2, 4, 0), 4, 4, 2, 2, 0, 0) =^{?} 0), (Perm_((3, 4, 0, 2, 2, 4, 0), 5, 4, 4, 3, 2, 2, 0, 0) =^{?} 0), 0