Clausal Language (ver. 5.81.20, by P.J. Voda, J. Komara, J. Kluka)

6. CVIČENIE Z PREDMETU ÚVOD DO DEKLARATÍVNEHO PROGRAMOVANIA LS 2012/2013

http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/ex/ex06.zip

Dátum: 19. 3. 2013

Odporúčaná verzia CL: 5.81.20

WWW stránka predmetu: http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/

Kontakt: udp(zavináč)lists.dai.fmph.uniba.sk

Úvodná poznámka. Toto cvičenie je venované reprezentácii celých čísel pomocou párovania.

Prémiová domáca úloha du06. (3 body) Pravidlá pre prémiové domáce úlohy nájdete na http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp#pdu

Odovzdajte toto cvičenie s naprogramovanou funkciou $Egcd$ (posledná úloha) a všetkými potrebnými pomocnými funkciami.

Termín: nedeľa 24. 3. 2013 o 23:59:59 SEČ.

Poznámka. Cvičenie navyše obsahuje niekoľko ďalších, dokazovacích prémiových úloh, ktoré budeme hodnotiť samostatne.

Literatúra.

[1] J. Kľuka. Prednášky z Úvodu do deklaratívneho programovania LS 2012/2013.

http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/udp-prednasky-2013.pdf

[2] D. Guller. Poznámky k prednáškam z CL.

[3] J. Komara and P. J. Voda. Metamathematics of Computer Programming. 2001.

Poznámka. Nadpisy sú číslované podľa [1].

Preskočte nasledujúce komponenty po nadpis „CVIČENIE“.

? = 0

? \leftrightarrow ⊥

(x) = x

C V I Č E N I E

10. PÁROVANIE

10.3. Kódovanie celých čísel párovaním

Úvod. Celé čísla môžeme reprezentovať triedami dvojíc prirodzených čísel, pričom trieda dvojíc

[( $a$ , $b$ )] = { ( $c$ , $d$ ) | $a + d = c + b$ }

reprezentuje číslo $a - b$ .

V tejto časti cvičenia zakódujeme celé čísla do prirodzených čísel tak, že usporiadanú dvojicu prirodzených čísel ( $a$ , $b$ ), ktorá reprezentuje celé číslo $a - b$ , zakódujeme párom $(a, b)$ . Táto reprezentácia nie je jednoznačná, jedno celé číslo je reprezentované nekonečným počtom párov.

Na pároch zadefinujeme aritmetické operácie ako na celých číslach.

Aritmetické operácie využijeme na naprogramovanie rozšíreného euklidovského algoritmu.

Notačné konvencie pre túto časť cvičenia.

Premenné $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ , $f$ označujú prirodzené čísla.

Premenné $x$ , $y$ , $z$ označujú reprezentantov celých čísel.

Operácie na reprezentantoch celých čísel majú koncovku -z (napríklad $Addz$ ) a zobrazujú sa s dolným indexom Z (napríklad $x +_{Z} y$ ).

Úloha. Reprezentant celého čísla. Celé čísla reprezentujeme kódmi dvojíc prirodzených čísel. Predikát $Z (x)$ platí, keď $x$ reprezentuje celé číslo.

Špecifikácia:

Z (x) \leftrightarrow \exists a \exists b x = (a, b)

Návod. Použite definíciu z prednášky – presne.

Z (x) \leftarrow ?

Úloha. Rovnosť celých čísel, ekvivalencia reprezentantov. Zadefinujte predikát $Eqz (x, y) \equiv x =_{Z} y$ , ktorý platí, ak prirodzené čísla $x$ a $y$ reprezentujú to isté celé číslo.

Špecifikácia:

(a, b) =_{Z} (c, d) \leftrightarrow a - b = c - d

Testovanie.

    Eqz_test = r:Results

x =_{Z} y \leftarrow ?

Eqz_(x, y) = 0 \leftarrow \neg x =_{Z} y

Eqz_(x, y) = 1 \leftarrow x =_{Z} y

Eqz_test = (Eqz_((0, 0), 0, 0) =^{?} 1), (Eqz_((9, 9), 9, 9) =^{?} 1), (Eqz_((9, 0), 9, 0) =^{?} 1), (Eqz_((0, 9), 0, 9) =^{?} 1), (Eqz_((0, 0), 7, 7) =^{?} 1), (Eqz_((9, 9), 4, 4) =^{?} 1), (Eqz_((9, 0), 61, 52) =^{?} 1), (Eqz_((0, 9), 86, 95) =^{?} 1), (Eqz_((9, 4), 57, 52) =^{?} 1), (Eqz_((4, 9), 86, 91) =^{?} 1), (Eqz_((0, 0), 61, 52) =^{?} 0), (Eqz_((0, 9), 83, 95) =^{?} 0), (Eqz_((9, 4), 57, 12) =^{?} 0), (Eqz_((4, 19), 86, 91) =^{?} 0), 0

Prémiová domáca úloha du06eqz. (2 body)

Dokážte, že za predpokladu $Z (x) \land Z (y) \land Z (z)$ pre vašu definíciu platí:

x =_{Z} x

(Eqz_reflexive)

x =_{Z} y \to y =_{Z} x

(Eqz_symmetric)

x =_{Z} y \land y =_{Z} z \to x =_{Z} z

(Eqz_transitive)

Inými slovami, dokážte, že $Eqz$ je relácia ekvivalencie na $Z$ .

Úloha. Kanonický reprezentant. Zadefinujte funkciu $Cz (x) \equiv C_{Z} (x)$ , ktorá pre ľubovoľného reprezentanta $x$ nejakého celého čísla vypočíta kanonického reprezentanta tohto celého čísla.

Špecifikácia:

Z (x) \to Z C_{Z} (x)

Z (x) \to x =_{Z} C_{Z} (x)

C_{Z} (x) = (a, b) \to a = 0 \lor b = 0

Testovanie.

    Cz_test = r:Results

C_{Z} (x) = ?

Cz_test = (C_{Z} (0, 0) =^{?} (0, 0)), (C_{Z} (5, 0) =^{?} (5, 0)), (C_{Z} (0, 5) =^{?} (0, 5)), (C_{Z} (2, 2) =^{?} (0, 0)), (C_{Z} (7, 2) =^{?} (5, 0)), (C_{Z} (4, 9) =^{?} (0, 5)), 0

9.4.1. Operácie na celých číslach

Úloha. Nula, neutrálny prvok sčítania. Zadefinujte konštantu $Zeroz \equiv 0_{Z}$ , ktorej hodnotou je reprezentant celého čísla $0$ .

Špecifikácia:

Z (0_{Z})

0_{Z} = (a, b) \leftrightarrow a - b = 0

Testovanie.

    Zeroz_test = r:Results

0_{Z} = ?

Zeroz_test = (0_{Z} =_{Z}^{?} (5, 5)), 0

Úloha. Sčítanie celých čísel. Zadefinujte funkciu $Addz (x, y) \equiv x +_{Z} y$ , ktorá vráti reprezentanta súčtu celých čísel s reprezentantmi $x$ a $y$ .

Špecifikácia:

Z (x) \land Z (y) \to Z (x +_{Z} y)

(a, b) +_{Z} (c, d) = (e, f) \leftrightarrow (a - b) + (c - d) = e - f

Testovanie.

    Addz_test = r:Results

x +_{Z} y = ?

Addz_test = ((10, 5) +_{Z} (20, 5) =_{Z}^{?} (20, 0)), ((10, 5) +_{Z} (5, 20) =_{Z}^{?} (0, 10)), ((5, 10) +_{Z} (5, 20) =_{Z}^{?} (0, 20)), ((5, 10) +_{Z} (20, 5) =_{Z}^{?} (10, 0)), ((5, 10) +_{Z} (17, 12) =_{Z}^{?} (0, 0)), 0

Úloha. Opačné celé číslo. Zadefinujte funkciu $Oppz (x) \equiv -_{Z} x$ , ktorá vráti reprezentanta opačného čísla k celému číslu s reprezentantom $x$ .

Špecifikácia:

Z (x) \to Z (-_{Z} x)

-_{Z} (a, b) = (c, d) \leftrightarrow - (a - b) = c - d

Testovanie.

    Oppz_test = r:Results

-_{Z} x = ?

Oppz_test = (-_{Z} (0, 0) =_{Z}^{?} (5, 5)), (-_{Z} (5, 0) =_{Z}^{?} (2, 7)), (-_{Z} (0, 5) =_{Z}^{?} (9, 4)), (-_{Z} (2, 2) =_{Z}^{?} (0, 0)), (-_{Z} (7, 2) =_{Z}^{?} (4, 9)), (-_{Z} (4, 9) =_{Z}^{?} (7, 2)), 0

Prémiová domáca úloha du06addz. (2 body)

Dokážte, že za predpokladu $Z (x) \land Z (y) \land Z (z)$ pre vaše definície platí:

x +_{Z} (y +_{Z} z) =_{Z} (x +_{Z} y) +_{Z} z

x +_{Z} y =_{Z} y +_{Z} x

x +_{Z} 0_{Z} =_{Z} x

x +_{Z} (-_{Z} x) =_{Z} 0_{Z}

Úloha. Odčítanie celých čísel. Zadefinujte funkciu $Subz (x, y) \equiv x -_{Z} y$ , ktorá vráti reprezentanta rozdielu celých čísel s reprezentantmi $x$ a $y$ . Nepoužite funkcie $Addz$ a $Oppz$ .

Špecifikácia:

Z (x) \land Z (y) \to Z (x -_{Z} y)

(a, b) -_{Z} (c, d) = (e, f) \leftrightarrow (a - b) - (c - d) = e - f

Testovanie.

    Subz_test = r:Results

x -_{Z} y = ?

Subz_test = ((10, 5) -_{Z} (20, 5) =_{Z}^{?} (0, 10)), ((4, 3) -_{Z} (1, 1) =_{Z}^{?} (1, 0)), ((10, 5) -_{Z} (5, 20) =_{Z}^{?} (20, 0)), ((5, 10) -_{Z} (5, 20) =_{Z}^{?} (10, 0)), ((5, 10) -_{Z} (20, 5) =_{Z}^{?} (0, 20)), ((5, 10) -_{Z} (7, 7) =_{Z}^{?} (0, 5)), ((1, 1) -_{Z} (2, 1) =_{Z}^{?} (0, 1)), ((2, 2) -_{Z} (4, 4) =_{Z}^{?} (3, 3)), ((1, 1) -_{Z} (3, 5) =_{Z}^{?} (2, 0)), 0

Prémiová domáca úloha du06subz. (1 bod)

Dokážte, že pre vaše definície platí:

Z (x) \land Z (y) \to x -_{Z} y =_{Z} x +_{Z} (-_{Z} y)

(Subz_addz)

Úloha. Jednotka, neutrálny prvok násobenia. Zadefinujte konštantu $Onez \equiv 1_{Z}$ , ktorej hodnotou je reprezentant celého čísla $1$ .

Špecifikácia:

Z (1_{Z})

1_{Z} = (a, b) \leftrightarrow a - b = 1

Testovanie.

    Onez_test = r:Results

1_{Z} = ?

Onez_test = (1_{Z} =_{Z}^{?} (5, 4)), 0

Úloha. Násobenie celého čísla prirodzeným číslom. Zadefinujte funkciu $Nmulz (a, x) \equiv a \cdot_{Z} x$ , ktorá vráti reprezentanta súčinu celého čísla s reprezentantom $x$ a prirodzeného čísla $a$ .

Špecifikácia:

N (a) \land Z (x) \to Z (a \cdot_{Z} x)

a \cdot_{Z} (b, c) = (d, e) \leftrightarrow a \cdot (b - c) = d - e

Testovanie.

    Nmulz_test = r:Results

a \cdot_{Z} x = ?

Nmulz_test = (0 \cdot_{Z} (20, 5) =_{Z}^{?} (0, 0)), (0 \cdot_{Z} (2, 2) =_{Z}^{?} (0, 0)), (0 \cdot_{Z} (1, 2) =_{Z}^{?} (0, 0)), (1 \cdot_{Z} (2, 1) =_{Z}^{?} (1, 0)), (1 \cdot_{Z} (2, 2) =_{Z}^{?} (0, 0)), (1 \cdot_{Z} (1, 2) =_{Z}^{?} (0, 1)), (2 \cdot_{Z} (10, 7) =_{Z}^{?} (6, 0)), (3 \cdot_{Z} (1, 1) =_{Z}^{?} (0, 0)), (2 \cdot_{Z} (2, 7) =_{Z}^{?} (0, 10)), 0

Úloha. Násobenie celých čísel. Zadefinujte funkciu $Mulz (x, y) \equiv x +_{Z} y$ , ktorá vráti reprezentanta súčinu celých čísel s reprezentantmi $x$ a $y$ .

Špecifikácia:

Z (x) \land Z (y) \to Z (x \times_{Z} y)

(a, b) \times_{Z} (c, d) = (e, f) \leftrightarrow (a - b) \cdot (c - d) = e - f

Testovanie.

    Mulz_test = r:Results

x \times_{Z} y = ?

Mulz_test = ((1, 3) \times_{Z} (1, 3) =_{Z}^{?} (4, 0)), ((1, 3) \times_{Z} (1, 2) =_{Z}^{?} (2, 0)), ((1, 3) \times_{Z} (1, 1) =_{Z}^{?} (0, 0)), ((1, 3) \times_{Z} (3, 2) =_{Z}^{?} (0, 2)), ((1, 3) \times_{Z} (3, 1) =_{Z}^{?} (0, 4)), ((3, 4) \times_{Z} (2, 3) =_{Z}^{?} (1, 0)), ((3, 4) \times_{Z} (2, 2) =_{Z}^{?} (0, 0)), ((3, 4) \times_{Z} (2, 1) =_{Z}^{?} (0, 1)), ((3, 4) \times_{Z} (5, 3) =_{Z}^{?} (0, 2)), ((3, 3) \times_{Z} (2, 2) =_{Z}^{?} (0, 0)), ((4, 4) \times_{Z} (2, 1) =_{Z}^{?} (0, 0)), ((1, 1) \times_{Z} (4, 2) =_{Z}^{?} (0, 0)), ((3, 2) \times_{Z} (2, 1) =_{Z}^{?} (1, 0)), ((5, 4) \times_{Z} (4, 1) =_{Z}^{?} (3, 0)), ((5, 2) \times_{Z} (3, 1) =_{Z}^{?} (6, 0)), 0

Prémiová domáca úloha du06mulz. (2 body)

Dokážte pre Vaše definície štyri z nasledujúcich tvrdení podľa vlastného výberu, za predpokladu $Z (x) \land Z (y) \land Z (z) \land N (a)$ :

x \times_{Z} (y \times_{Z} z) =_{Z} (x \times_{Z} y) \times_{Z} z

x \times_{Z} y =_{Z} y \times_{Z} x

x \times_{Z} 1_{Z} =_{Z} x

x \times_{Z} 0_{Z} =_{Z} 0_{Z}

x \times_{Z} (y +_{Z} z) =_{Z} (x \times_{Z} y) +_{Z} (x \times_{Z} z)

a \cdot_{Z} x =_{Z} (a \cdot_{Z} 1_{Z}) \times_{Z} x

-_{Z} x =_{Z} (-_{Z} 1_{Z}) \times_{Z} x

9.4.2. Rozšírený euklidovský algoritmus

Euklidovský algoritmus.

\gcd (a, b) = b \leftarrow a = 0

\gcd (a, b) = \gcd (b mod a, a) \leftarrow a \neq 0

Úloha. Rozšírený euklidovský algoritmus. Zadefinujte funkciu $Egcd (a, b) \equiv \overline{\gcd} (a, b)$ , ktorá pre všetky prirodzené čísla $a$ a $b$ vráti dvojicu reprezentantov celých čísel $x$ a $y$ takých, že platí $\gcd (a, b) = (a \cdot x) + (b \cdot y)$ .

Špecifikácia:

N (a) \land N (b) \to \exists x \exists y (\overline{\gcd} (a, b) = (x, y) \land Z (x) \land Z (y))

\overline{\gcd} (a, b) = (x, y) \to \gcd (a, b) \cdot_{Z} 1_{Z} =_{Z} (a \cdot_{Z} x) +_{Z} (b \cdot_{Z} y)

Testovanie.

    Egcd_test = r:Results

\overline{\gcd} (a, b) = ?

Egcd_check (a, b) = (a \cdot_{Z} x) +_{Z} (b \cdot_{Z} y) =_{Z}^{?} g \cdot_{Z} 1_{Z} \leftarrow \overline{\gcd} (a, b) = x, y \land \gcd (a, b) = g

Egcd_test = Egcd_check (0, 0), Egcd_check (5, 0), Egcd_check (0, 5), Egcd_check (15, 7), Egcd_check (7, 15), Egcd_check (210, 260), Egcd_check (260, 210), Egcd_check (13026, 23712), Egcd_check (23712, 13026), 0