Clausal Language (ver. 5.81.19, by P.J. Voda, J. Komara, J. Kluka)

11. CVIČENIE Z PREDMETU ÚVOD DO DEKLARATÍVNEHO PROGRAMOVANIA

http://ii.fmph.uniba.sk/cl/courses/1-AIN-505-udp/1011ls/ex/ex11.zip

Dátum: štvrtok 12. 5. 2011

Odporúčaná verzia CL: 5.81.19

WWW stránka predmetu: http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/

Kontakt: udp(zavináč)lists.dai.fmph.uniba.sk

Úvodná poznámka. Toto cvičenie je venované postfixovému stroju a numerickým výrazom.

Literatúra.

[1] J. Kľuka. Prednášky z Úvodu do deklaratívneho programovania LS 2010/2011.

http://ii.fmph.uniba.sk/cl/courses/1-AIN-505-udp/1011ls/udp-screen.pdf

[2] D. Guller. Poznámky k prednáškam z CL.

http://ii.fmph.uniba.sk/cl/courses/1-AIN-505-udp/clslov.pdf

[3] J. Komara and P. J. Voda. Metamathematics of Computer Programming. 2001.

http://ii.fmph.uniba.sk/cl/courses/1-INF-465-dp/1011ls/doc/meta2001.pdf

Poznámka. Nadpisy sú číslované podľa [1].

C V I Č E N I E

17. POSTFIXOVÝ STROJ A NUMERICKÉ VÝRAZY

17.1. Postfixový stroj

Na prednáške sme opísali postfixový stroj, ktorý vykonáva program (postupnosť inštrukcií) modifikáciou zásobníka čísel.

Inštrukcie postfixového stroja. Nasledujúce konštruktory kódujú inštrukcie postfixového stroja. Predikát $Instr$ platí pre kódy inštrukcií.

Všimnite si skutočné mená konštruktorov ( $Ci$ , $Vi$ , $Ai$ , $Mi$ ).

PUSH (n) = 1, n

LOAD (i) = 0, i

ADD = 2, 0

MUL = 3, 0

Instr PUSH (n) \leftarrow N (n)

Instr LOAD (i) \leftarrow N (i)

Instr (ADD)

Instr (MUL)

Programy postfixového stroja. Program postfixového stroja je postupnosť inštrukcií.

Úloha. Zadefinujte predikát $Program (is)$ , ktorý platí, ak $is$ je kódom programu, teda zoznamom kódov inštrukcií.

Program (is) \leftarrow ?

Zásobník postfixového stroja. Postfixový stroj má zásobník čísel, ktorý sa mení počas behu programu. Inštrukcie pridávajú čísla na vrch zásobníka, alebo čísla z vrchu zásobníka odoberajú.

Zásobník zakódujeme zoznamom prirodzených čísel, pričom hodnota na vrchu zásobníka je prvým prvkom zoznamu.

Beh postfixového stroja. Postfixový stroj postupne vykonáva inštrukcie v programe. Inštrukcie menia zásobník nasledovným spôsobom (viď tiež ilustráciu v prednáškach [1, str. 36]):

$PUSH (n)$ pridá číslo $n$ na vrch zásobníka.
$LOAD (i)$ pridá na vrch zásobníka kópiu čísla, ktoré sa nachádza v zásobníku na $i$ -tom mieste (počítajúc od 0).
$ADD$ odoberie zo zásobníka vrchnú hodnotu $a$ a hodnotu pod ňou $b$ a namiesto nich pridá na vrch zásobníka hodnotu $b + a$ .
$MUL$ odoberie zo zásobníka vrchnú hodnotu $a$ a hodnotu pod ňou $b$ a namiesto nich pridá na vrch zásobníka hodnotu $b \cdot a$ .

Úloha. Odkrokujte na papieri beh nasledovných dvoch programov, ak začiatočný stav zásobníka je $3, 5, 7, 0$ .

{Prog}_{1} = PUSH (4), PUSH (6), ADD, LOAD (3), MUL, 0

{Prog}_{2} = LOAD (0), LOAD (1), MUL, PUSH (2), LOAD (2), LOAD (4), MUL, MUL, ADD, LOAD (3), LOAD (4), MUL, ADD, 0

Úloha. Zjednodušte program ${Prog}_{1}$ na 3 inštrukcie, teda napíšte program ${Prog}_{11}$ , ktorý vypočíta na vrch zásobníka rovnaký výsledok ako ${Prog}_{1}$ , ale $L ({Prog}_{11}) = 3$ .

{Prog}_{11} = ?

Úloha. Napíšte program ${Prog}_{3}$ pre postfixový stroj, ktorý zmení zásobník zo stavu $n, ss$ do stavu $n \cdot (n + 1), n, ss$ .

{Prog}_{3} = ?

Úloha. Zadefinujte funkciu $Run (is, ss)$ , ktorá simuluje beh postfixového stroja s programom $is$ na zásobníku $ss$ .

Po skončení programu vráti funkcia $Run$ hodnotu z vrchu zásobníka.

Použite funkciu $xs [i]$ ( $Sub$ ) z modulu ${Maux}_{11}$ .

Run (is, ss) = ?

Úloha. Spustite programy ${Prog}_{1}$ a ${Prog}_{2}$ funkciou $Run$ a overte, či ste ich správne odkrokovali.

Otestujte tiež svoje programy ${Prog}_{11}$ a ${Prog}_{3}$ na rôznych začiatočných stavoch zásobníkov:

    3,5,7,0 = vs & Run(Prog1,vs) = rp1 & Den(Prog11,vs) = rp11

    7 = n & Run(Prog3,n,0) = rp3 & n*(n+1) = x

Pomocou funkcie $Run$ môžeme presne vyjadriť vlastnosti programov ${Prog}_{11}$ a ${Prog}_{3}$ :

Run ({Prog}_{11}, ss) = Run ({Prog}_{1}, ss)

Run ({Prog}_{3}, n, ss) = n \cdot (n + 1)

17.2. Numerické výrazy s premennými

Numerické výrazy s premennými. Numerické výrazy s premennými sú tvorené:

číselnými konštantami $0$ , $1$ , $2$ , …, $n$ , …,
premennými $x_{0}$ , $x_{1}$ , $x_{2}$ , …, $x_{i}$ , …,
aplikáciou sčítania $t_{1} + t_{2}$ na dva numerické výrazy $t_{1}$ a $t_{2}$ ,
aplikáciou násobenia $t_{1} \times t_{2}$ na dva numerické výrazy $t_{1}$ a $t_{2}$ .

Kódovanie numerických výrazov s premennými. Numerické výrazy majú stromovú štruktúru. Môžeme ich zakódovať podobne ako binárne stromy. Použijeme nasledujúce konštruktory:

n^{•} = 1, n

x_{i}^{•} = 0, i

t_{1} +^{•} t_{2} = 2, t_{1}, t_{2}

t_{1} \times^{•} t_{2} = 3, t_{1}, t_{2}

$n^{•}$ kóduje číselnú konštantu $n$ ,
$x_{i}^{•}$ kóduje premennú $x_{i}$ ,
$t_{1} +^{•} t_{2}$ kóduje súčet výrazov, ktoré sú zakódované číslami $t_{1}$ a $t_{2}$ ,
$t_{1} \times^{•} t_{2}$ kóduje súčin výrazov, ktoré sú zakódované číslami $t_{1}$ a $t_{2}$ .

Predikát $Term (t)$ platí, ak $t$ je kód numerického výrazu.

Term (n^{•}) \leftarrow N (n)

Term (x_{i}^{•}) \leftarrow N (i)

Term (t_{1} +^{•} t_{2}) \leftarrow Term (t_{1}) \land Term (t_{2})

Term (t_{1} \times^{•} t_{2}) \leftarrow Term (t_{1}) \land Term (t_{2})

Úloha. Vypočítajte hodnotu výrazov s kódmi ${Term}_{1}$ a ${Term}_{2}$ , ak premenná $x_{0}$ má hodnotu $3$ , premenná $x_{1}$ má hodnotu $5$ a premenná $x_{2}$ má hodnotu $7$ .

{Term}_{1} = (4^{•} +^{•} 6^{•}) \times^{•} x_{2}^{•}

{Term}_{2} = ((x_{0}^{•} \times^{•} x_{0}^{•}) +^{•} (2^{•} \times^{•} (x_{0}^{•} \times^{•} x_{1}^{•}))) +^{•} (x_{2}^{•} \times^{•} x_{2}^{•})

Úloha. Zjednodušte výraz ${Term}_{1}$ tak, že súčet konštánt nahradíte jedinou konštantou. Zapíšte kód zjednodušeného výrazu:

{Term}_{11} = ?

Úloha. Zakódujte numerický výraz $x_{0} \times (x_{0} + 1)$ :

{Term}_{3} = ?

Úloha. Zadefinujte denotačnú funkciu $Den (t, vs) = {⟦ t ⟧}^{vs}$ , ktorá vypočíta hodnotu numerického výrazu $t$ pri ohodnotení premenných $vs$ . Ohodnotenie premenných $vs$ je zoznam, v ktorom $i$ -ty prvok predstavuje hodnotu premennej $x_{i}^{•}$ .

{⟦ t ⟧}^{vs} = ?

Úloha. Vypočítajte hodnotu výrazov s kódmi ${Term}_{1}$ a ${Term}_{2}$ pomocou funkcie ${⟦ t ⟧}^{vs}$ pri ohodnotení premenných $3, 5, 7, 0$ .

Výpočtami pri rôznych ohodnoteniach otestujte, či ste správne určili ${Term}_{11}$ :

    3,5,7,0 = vs & Den(Term1,vs) = dt1 & Den(Term11,vs) = dt11

a ${Term}_{3}$ :

    7 = n & Den(Term3,n,0) = dt3 & n*(n+1) = dt31

Pomocou denotačnej funkcie môžeme presne vyjadriť vlastnosti výrazov ${Term}_{11}$ a ${Term}_{3}$ :

{⟦ {Term}_{11} ⟧}^{vs} = {⟦ {Term}_{1} ⟧}^{vs}

{⟦ {Term}_{3} ⟧}^{n, vs} = n \cdot (n + 1)

17.3. Kompilácia výrazov do programov

Programy počítajúce numerické výrazy. Všimnite si, že ak spustíme program ${Prog}_{1}$ so zásobníkom $vs$ , na vrch zásobníka sa vypočíta hodnota výrazu ${Term}_{1}$ pri ohodnotení premenných $vs$ . Teda:

Run ({Prog}_{1}, vs) = {⟦ {Term}_{1} ⟧}^{vs}

Podobný vzťah je medzi ${Prog}_{2}$ a ${Term}_{2}$ i medzi ${Prog}_{3}$ a ${Term}_{3}$ .

Úloha. Zadefinujte funkciu $Comp (t)$ , ktorá skompiluje numerický výraz $t$ do programu pre postfixový stroj tak, že platí

Term (t) \to Program Comp (t)

Term (t) \to Run (Comp (t), vs) = {⟦ t ⟧}^{vs}

Ako sme ukázali na prednáške, musíme použiť pomocnú funkciu ${Comp}_{1} (t, j)$ , ktorá skompiluje výraz $t$ do programu, ktorý vypočíta hodnotu výrazu $t$ , keď sa na zásobníku nad ohodnotením $vs$ nachádza $j$ medzivýsledkov $ms$ :

Term (t) \to Program {Comp}_{1} (t, j)

Term (t) \land L (ms) = j \to Run ({Comp}_{1} (t, j) \oplus p, ms \oplus vs) = Run (p, ({⟦ t ⟧}^{vs}, ms \oplus vs))

{Comp}_{1} (t, j) = ?

Comp (t) = ?

Testovanie. Nasledujúce definície vám pomôžu pri testovaní kompilácie numerických výrazov. Napríklad dotaz:

  Try(Term4,2,3,0) = x:Resf

by mal mať výsledok:

x = (x_{0}^{•} +^{•} (3^{•} \times^{•} x_{1}^{•})) \times^{•} 5^{•}, (2, 3, 0), 55, (LOAD (0), PUSH (3), LOAD (3), MUL, ADD, PUSH (5), MUL, 0), 55

Try (t, vs) = t, vs, {⟦ t ⟧}^{vs}, is, Run (is, vs) \leftarrow Comp (t) = is

Resf (t, vs, d, is, r) \leftarrow Term (t) \land Ln (vs) \land N (d) \land Program (is) \land N (r)

{Term}_{4} = (x_{0}^{•} +^{•} (3^{•} \times^{•} x_{1}^{•})) \times^{•} 5^{•}

{Term}_{5} = (x_{0}^{•} +^{•} 2^{•}) \times^{•} (x_{1}^{•} \times^{•} 4^{•})

{Term}_{6} = (9^{•} \times^{•} x_{0}^{•}) +^{•} (4^{•} \times^{•} (x_{0}^{•} +^{•} x_{1}^{•}))

{Term}_{7} = (x_{2}^{•} +^{•} x_{0}^{•}) \times^{•} ((2^{•} \times^{•} x_{1}^{•}) +^{•} 4^{•})

Úloha. Nájdite výrazy, ktorých hodnoty počítajú nasledujúce programy, teda pre daný $p$ nájdite taký $t$ , že platí

{⟦ t ⟧}^{vs} = Run (p, vs)

Táto úloha je opakom kompilácie, nazýva sa dekompilácia.

Program ${Prog}_{8}$ sa dá dekompilovať do výrazu ${Term}_{8}$ tak, aby platilo $Comp ({Term}_{8}) = {Prog}_{8}$ . Pre program ${Prog}_{9}$ to ale neplatí. Výraz ${Term}_{9}$ , ktorý nájdete, bude počítať rovnaké hodnoty, ale jeho kompiláciou dostanete iný program ako ${Prog}_{9}$ .

{Prog}_{8} = LOAD (1), PUSH (7), ADD, LOAD (1), MUL, 0

{Term}_{8} = ?

{Prog}_{9} = LOAD (0), LOAD (0), MUL, LOAD (0), PUSH (1), ADD, MUL, 0

{Term}_{9} = ?