Clausal Language (ver. 5.81.19, by P.J. Voda, J. Komara, J. Kluka)

10. CVIČENIE Z PREDMETU ÚVOD DO DEKLARATÍVNEHO PROGRAMOVANIA

ČASŤ A

http://ii.fmph.uniba.sk/cl/courses/1-AIN-505-udp/1011ls/ex/ex10.zip

Dátum: streda 20. 4. 2011

Odporúčaná verzia CL: 5.81.19

WWW stránka predmetu: http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/

Kontakt: udp(zavináč)lists.dai.fmph.uniba.sk

Úvodná poznámka. Toto cvičenie je venované kombinatorike na zoznamoch (ex10a) a číslovaniu uzlov v binárnych stromoch (ex10b). Cvičenie tiež obsahuje pomocný modul auxb pre ex10b.

Literatúra.

[1] D. Guller. Poznámky k prednáškam z CL.

http://ii.fmph.uniba.sk/cl/courses/1-AIN-505-udp/clslov.pdf

[2] J. Komara and P. J. Voda. Metamathematics of Computer Programming. 2001.

http://ii.fmph.uniba.sk/cl/courses/1-INF-465-dp/1011ls/doc/meta2001.pdf

Preskočte nasledujúce komponenty po nadpis „CVIČENIE“.

? = 0

? \leftrightarrow ⊥

(x) = x

#_{a} (0) = 0

#_{a} (x, xs) = 1 + #_{a} (xs) \leftarrow a = x

#_{a} (x, xs) = #_{a} (xs) \leftarrow a \neq x

C V I Č E N I E

KOMBINATORICKÉ FUNKCIE NA ZOZNAMOCH

V nasledujúcich úlohách budeme definovať funkcie, ktoré vytvárajú zoznamy sufixov, prefixov, vybraných podpostupností a permutácií daného zoznamu.

[CL] Reťazce

Znaky a reťazce. Reťazec je v CL zoznamom znakov (viď definície predikátov – formátov $Ch$ a $Str$ v module $Standard$ ). Znaky sú uzavreté v úvodzovkách (napr. "a"), reťazce v apostrofoch (napr. 'abc efg 123'). Čísla zobrazíme ako znaky pomocou formátu $Ch$ . Zoznamy zobrazíme ako reťazce pomocou formátu $Str$ .

Úloha. Vyhodnoťte query:

    90 = c:Ch & 72,101,108,108,111,33,0 = xs:Str &
    ("l","a",0) = ys:Str & 'tra'++ys++ys = zs:Str

Zoznamy reťazcov. Doteraz sme väčšinou pracovali s jednoduchými zoznamami čísel, občas s dvojicami zoznamov alebo zoznamami dvojíc. Hodnotami väčšiny funkcií v tomto cvičení budú zoznamy zoznamov. Prehľadnejšie je pozerať sa na ne ako na zoznamy reťazcov.

Nasledujúci predikát – formát $Lstr$ platí pre zoznamy reťazcov a umožňuje takto zobrazovať hodnoty premenných v query.

Lstr (0)

Lstr (xs, xss) \leftarrow Str (xs) \land Lstr (xss)

Úloha. Vyhodnoťte query:

    (97,98,99,0),0,(100,101,0),0 = xss:Lstr

Sufixy

Sufix. Predikát $Suffix (zs, xs)$ (7. prednáška, cvičenie ex07c) platí práve vtedy, keď zoznam $zs$ je sufixom (súvislým koncovým úsekom) zoznamu $xs$ :

Suffix (zs, xs) \leftrightarrow \exists ys xs = ys \oplus zs

V nasledujúcej úlohe využijeme, že

jediným sufixom prázdneho zoznamu je prázdny zoznam:
$Suffix (zs, 0) \leftrightarrow zs = 0$
sufixami neprázdneho zoznamu $x, xs$ sú

a) zoznam $x, xs$ sám,

b) všetky sufixy zoznamu $xs$ ,

teda:
$Suffix (zs, (x, xs)) \leftrightarrow zs = x, xs \lor Suffix (zs, xs)$

Úloha. Zadefinujte funkciu $Suffixes (xs)$ , ktorá vráti zoznam všetkých sufixov zoznamu (reťazca) $xs$ . Funkciu zadefinujte zoznamovou rekurziou. Využite vlastnosti sufixov uvedené v predchádzajúcej poznámke.

Napríklad:

Suffixes (1, 2, 3, 0) = (1, 2, 3, 0), (2, 3, 0), (3, 0), 0, 0

Suffixes (aky) = aky, ky, y,, 0

Suffixes (taky) = taky, aky, ky, y,, 0

Výsledok v druhom príklade zobrazujte formátom $Lstr$ (viď vyššie).

Špecifikácia:

zs &CLin; Suffixes (xs) \leftrightarrow Suffix (zs, xs)

Str (xs) \to Lstr Suffixes (xs)

Suffixes (xs) = ?

Pridanie znaku na začiatok viacerých reťazcov

Úloha. Zadefinujte funkciu $Map_pair (a, xss)$ , ktorá pridá prvok $a$ na začiatok každého zoznamu v zozname zoznamov $xss$ (znak $a$ na začiatok každého reťazca v zozname reťazcov $xss$ ).

Napríklad:

Map_pair (99, (50, 30, 20, 0), (1, 2, 0), 0, (7, 0), 0) = (99, 50, 30, 20, 0), (99, 1, 2, 0), (99, 0), (99, 7, 0), 0

Map_pair (#, abcde,, 123, @, 0) = #abcde, #, #123, #@, 0

Špecifikácia:

ys &CLin; Map_pair (a, xss) \leftrightarrow \exists xs (ys = a, xs \land xs &CLin; xss)

Ch (a) \land Lstr (xss) \to Lstr Map_pair (a, xss)

Map_pair (a, xss) = ?

Prefixy

Prefix. Predikát $Prefix (ys, xs)$ (7. prednáška, cvičenie ex07c) platí práve vtedy, keď $ys$ je prefixom (súvislým začiatočným úsekom) zoznamu $xs$ :

Prefix (ys, xs) \leftrightarrow \exists zs xs = ys \oplus zs

V nasledujúcej úlohe využijeme, že

jediným prefixom prázdneho zoznamu je prázdny zoznam:
$Prefix (ys, 0) \leftrightarrow ys = 0$
prefixami neprázdneho zoznamu $x, xs$ sú

a) prázdny zoznam,

b) všetky zoznamy $x, zs$ , kde $zs$ je prefixom zoznamu $xs$ ,

teda:
$Prefix (ys, (x, xs)) \leftrightarrow ys = 0 \lor \exists zs (ys = x, zs \land Prefix (zs, xs))$

Úloha. Zadefinujte funkciu $Prefixes (xs)$ , ktorá vráti zoznam všetkých prefixov zoznamu (reťazca) $xs$ . Funkciu zadefinujte zoznamovou rekurziou. Využite vlastnosti prefixov uvedené v predchádzajúcej poznámke a funkciu $Map_pair$ .

Napríklad:

Prefixes (2, 3, 5, 0) = 0, (2, 0), (2, 3, 0), (2, 3, 5, 0), 0

Prefixes (aky) =, a, ak, aky, 0

Prefixes (taky) =, t, ta, tak, taky, 0

Špecifikácia:

ys &CLin; Prefixes (xs) \leftrightarrow Prefix (ys, xs)

Str (xs) \to Lstr Prefixes (xs)

Prefixes (xs) = ?

Vybrané podpostupnosti

Vybraná podpostupnosť. Predikát $Subseq (ys, xs)$ platí práve vtedy, keď zoznam $ys$ je vybranou podpostupnosťou zoznamu $xs$ . To znamená, že $ys$ vznikne vynechaním niektorých prvkov zo zoznamu $xs$ (aj žiadnych alebo všetkých). Vzájomné poradie zostávajúcich prvkov sa nezmení.

Presnejšie, zoznam $ys$ je vybranou podpostupnosťou zoznamu $xs = x_{0}, x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}, 0$ , ak

ys = x_{i_{0}}, x_{i_{1}}, \dots, x_{i_{k}}, 0

pre nejakú rastúcu postupnosť $i_{0}, i_{1}, i_{2}, \dots, i_{k}$ indexov prvkov zoznamu $xs$ , teda $0 ≦ i_{0}$ < $i_{1}$ < $i_{2}$ < $\dots$ < $i_{k} ≦ n$ .

Napríklad

Subseq (, vsetko)

Subseq (veko, vsetko)

Subseq (vsetko, vsetko)

\neg Subseq (svet, vsetko)

\neg Subseq (sito, vsetko)

Predikát $Subseq (ys, xs)$ môžeme rekurzívne zadefinovať nasledovne:

Subseq (ys, 0) \leftarrow ys = 0

Subseq (ys, x, xs) \leftarrow ys = 0

Subseq (ys, x, xs) \leftarrow ys = y, zs \land y = x \land Subseq (zs, xs)

Subseq (ys, x, xs) \leftarrow ys = y, zs \land y \neq x \land Subseq (ys, xs)

V nasledujúcej úlohe využijeme, že

jedinou vybranou podpostupnosťou prázdneho zoznamu je prázdny zoznam:
$Subseq (ys, 0) \leftrightarrow ys = 0$
vybranými podpostupnosťami neprázdneho zoznamu $x, xs$ sú

a) všetky zoznamy $x, zs$ , kde $zs$ je vybranou podpostupnosťou zoznamu $xs$ ,

b) všetky podpostupnosti zoznamu $xs$ ,

teda
$Subseq (ys, (x, xs)) \leftrightarrow \exists zs (ys = x, zs \land Subseq (zs, xs)) \lor Subseq (ys, xs)$

Úloha. Zadefinujte funkciu $Subseqs (xs)$ , ktorá vráti zoznam všetkých vybraných podpostupností zoznamu (reťazca) $xs$ . Funkciu zadefinujte zoznamovou rekurziou. Využite vlastnosti vybraných podpostupností z predchádzajúcej poznámky a funkciu $Map_pair$ .

Napríklad:

Subseqs (ak) = ak, a, k,, 0

Subseqs (tak) = tak, ta, tk, t, ak, a, k,, 0

Na poradí reťazcov vo výslednom zozname nezáleží.

Špecifikácia:

ys &CLin; Subseqs (xs) \leftrightarrow Subseq (ys, xs)

Str (xs) \to Lstr Subseqs (xs)

Subseqs (xs) = ?

Permutácie

Permutácia. Predikát $xs \sim ys$ (8. prednáška, cvičenie ex08a) platí práve vtedy, keď zoznam $xs$ je permutáciou zoznamu $ys$ .

xs \sim ys \leftrightarrow \forall a #_{a} (xs) = #_{a} (ys)

Cieľom nasledujúcich úloh je zadefinovať funkciu $Perms (xs)$ , ktorá vráti zoznam všetkých permutácií zoznamu $xs$ . Aby sme našli definíciu $Perms (xs)$ zoznamovou rekurziou, potrebujeme vyjadriť permutácie zoznamu $x, xs$ pomocou permutácií $xs$ .

Vsunutie prvku do zoznamu. Predikát $Inserted (ys, xs, a)$ platí práve vtedy, keď zoznam $ys$ vznikne vsunutím prvku $a$ do zoznamu $xs$ .

Inserted (ys, xs, a) \leftrightarrow \exists vs \exists ws (xs = vs \oplus ws \land ys = vs \oplus (a, ws))

Úloha. Zadefinujte funkciu $Interleave (a, xs)$ , ktorá vráti zoznam všetkých vsunutí prvku (znaku) $a$ do zoznamu (reťazca) $xs$ .

Rekurzívnu definíciu s využitím funkcie $Map_pair$ by vám mali pomôcť objaviť nasledujúce príklady:

Interleave (#,) = #, 0

Interleave (#, ak) = #ak, a#k, ak#, 0

Interleave (#, tak) = #tak, t#ak, ta#k, tak#, 0

a vlastnosti predikátu $Inserted$ :

Inserted ((a, 0), 0, a)

Inserted (ys, (x, xs), a) \leftrightarrow ys = a, x, xs \lor \exists zs (ys = x, zs \land Inserted (zs, xs, a))

spolu so špecifikáciou:

ys &CLin; Interleave (a, xs) \leftrightarrow Inserted (ys, xs, a)

Ch (a) \land Str (xs) \to Lstr Interleave (a, xs)

Interleave (a, xs) = ?

Úloha. Zadefinujte funkciu $Conc_map_i (a, xss)$ , ktorá vráti zoznam všetkých vsunutí prvku (znaku) $a$ do všetkých zoznamov (reťazcov) v $xss$ . Použite funkciu $Interleave$ a zreťazenie.

Napríklad:

Conc_map_i (#, tak,, @, 0) = #tak, t#ak, ta#k, tak#, #, #@, @#, 0

Špecifikácia:

ys &CLin; Conc_map_i (a, xss) \leftrightarrow \exists xs (xs &CLin; xss \land Inserted (ys, xs, a))

Ch (a) \land Lstr (xss) \to Lstr Conc_map_i (a, xss)

Conc_map_i (a, xss) = ?

Rekurzívne vlastnosti permutácií. Pomocou predikátu $Inserted$ môžeme vyjadriť vlastnosti permutácií, ktoré nám pomôžu pri rekurzívnej definícii funkcie, ktorá vytvorí ich zoznam. Platí:

jedinou permutáciou prázdneho zoznamu je prázdny zoznam:
$ys \sim 0 \leftrightarrow ys = 0$
každá permutácia neprázdneho zoznamu $x, xs$ vznikne vsunutím prvku $x$ do niektorej permutácie zoznamu $xs$ :
$ys \sim (x, xs) \leftrightarrow \exists zs (Inserted (ys, zs, x) \land zs \sim xs)$

Úloha. Zadefinujte funkciu $Perms (xs)$ , ktorá vráti zoznam všetkých permutácií zoznamu (reťazca) $xs$ . Funkciu zadefinujte zoznamovou rekurziou. Využite vlastnosti permutácií z predchádzajúcej poznámky a funkciu $Conc_map_i$ .

Napríklad:

Perms (ak) = ak, ka, 0

Perms (tak) = tak, atk, akt, tka, kta, kat, 0

Na poradí reťazcov vo výslednom zozname nezáleží.

Špecifikácia:

ys &CLin; Perms (xs) \leftrightarrow ys \sim xs

Str (xs) \to Lstr Perms (xs)

Perms (xs) = ?