Clausal Language (ver. 5.81.19, by P.J. Voda, J. Komara, J. Kluka)

8. CVIČENIE Z PREDMETU ÚVOD DO DEKLARATÍVNEHO PROGRAMOVANIA

ČASŤ B

http://ii.fmph.uniba.sk/cl/courses/1-AIN-505-udp/1011ls/ex/ex08.zip

Dátum: streda 6. 4. 2011

Odporúčaná verzia CL: 5.81.19

WWW stránka predmetu: http://dai.fmph.uniba.sk/courses/udp/

Kontakt: udp(zavináč)lists.dai.fmph.uniba.sk

Úvodná poznámka. Toto cvičenie je venované triedeniu zoznamov (ex08a) a reprezentácii konečných množín usporiadanými zoznamami bez opakovania (ex08b).

Literatúra.

[1] J. Kľuka. Prednášky z Úvodu do deklaratívneho programovania LS 2010/2011.

[2] D. Guller. Poznámky k prednáškam z CL.

[3] J. Komara and P. J. Voda. Metamathematics of Computer Programming. 2001.

Poznámka. Nadpisy sú číslované podľa [1].

Preskočte nasledujúce komponenty po nadpis „CVIČENIE“.

? = 0

? \leftrightarrow ⊥

C V I Č E N I E

14. ZOZNAMOVÁ REPREZENTÁCIA KONEČNÝCH MNOŽÍN

Reprezentácia množín usporiadanými zoznamami bez opakovania. Konečné množiny môžeme jednoducho reprezentovať zoznamami. Pri množinách je dôležitá iba príslušnosť prvku do množiny. Počet výskytov prvku ani poradie prvkov nie sú podstatné. Množiny môžeme preto reprezentovať usporiadanými zoznamami bez opakovania prvkov. Operácie na dvoch množinách potom dokážeme naprogramovať tak, aby počet krokov potrebných na ich vykonanie lineárne závisel od súčtu počtu prvkov v množinách.

[CL] Trichotomická diskriminácia. V nasledujúcich úohách využijeme trichotomickú diskrimináciu:

\dots \leftarrow s < t

\dots \leftarrow s = t

\dots \leftarrow s > t

Úloha. Zadefinujte predikát $Set (xs)$ , ktorý platí, ak $xs$ je zoznam, ktorý reprezentuje množinu, teda usporiadaný a bez opakovania.

Definícia je podobná predikátu $Ord$ z ex08a.

Špecifikácia:

Set (xs) \leftrightarrow \forall ys \forall a \forall b \forall zs (xs = ys \oplus (a, b, zs) \to a < b)

Set (xs) \leftarrow ?

Úloha. Zadefinujte predikát $Member (a, xs) \equiv (a \in xs)$ , ktorý platí, ak je $a$ prvkom množiny $xs$ .

Napríklad $4 \in 2, 4, 6, 8, 0$ a $\neg (5 \in 2, 4, 6, 8, 0)$ .

Využite (ale netestujte!), že $xs$ je množina. Ani v jednom z uvedených príkladov výpočet nesmie prejsť celý zoznam $2, 4, 6, 8, 0$ .

Špecifikácia:

Set (xs) \to a \in xs \leftrightarrow a &CLin; xs

a \in xs \leftarrow ?

Extenzionalita. Všimnite si, že reprezentácia množín usporiadanými zoznamami bez opakovania je jednoznačná a teda má vlastnosť extenzionality: Množiny sú si rovné práve vtedy, keď majú tie isté prvky.

Set (xs) \land Set (ys) \to xs = ys \leftrightarrow \forall a (a \in xs \leftrightarrow a \in ys)

Úloha. Zadefinujte funkciu $Insert (xs, a) \equiv xs \cup {a}$ , ktorá vloží prvok $a$ do množiny $xs$ , teda vráti množinu, ktorá obsahuje všetky prvky $xs$ a prvok $a$ .

Napríklad $(2, 4, 6, 8, 0) \cup {5} = 2, 4, 5, 6, 8, 0$ a $(2, 4, 6, 8, 0) \cup {4} = 2, 4, 6, 8, 0$ .

Pozor na poradie argumentov a na fakt, že v množinách sa prvky neopakujú a sú usporiadané. Nepoužite žiadne pomocné funkcie ani predikáty (vrátane $Set$ a $Member$ ).

Špecifikácia:

Set (xs) \to Set (xs \cup {a})

Set (xs) \to \forall b (b \in xs \cup {a} \leftrightarrow b = a \lor b \in xs)

xs \cup {a} = ?

Úloha. Zadefinujte funkciu $Delete (xs, a) \equiv xs ∖ {a}$ , ktorá odstráni prvok $a$ z množiny $xs$ , teda vráti množinu obsahujúcu všetky prvky $xs$ okrem $a$ .

Napríklad $(2, 4, 6, 8, 0) ∖ {4} = 2, 6, 8, 0$ a $(2, 4, 6, 8, 0) ∖ {5} = 2, 4, 6, 8, 0$ .

Pozor na poradie argumentov a na fakt, že v množinách sa prvky neopakujú a sú usporiadané. Nepoužite žiadne pomocné funkcie ani predikáty (vrátane $Set$ a $Member$ ). Ani v jednom z uvedených príkladov výpočet nesmie prejsť celý zoznam $2, 4, 6, 8, 0$ .

Špecifikácia:

Set (x) \to Set (x ∖ {a})

Set (x) \to \forall b (b \in x ∖ {a} \leftrightarrow b \neq a \land b \in x)

xs ∖ {a} = ?

Úloha. Zadefinujte funkciu $Union (xs, ys) \equiv xs \cup ys$ , ktorá zjednotí množiny $xs$ a $ys$ .

Napríklad $(2, 4, 8, 9, 10, 0) \cup (1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 0) = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 0$ .

Využite (ale netestujte!), že $xs$ a $ys$ sú množiny. Algoritmus pre zjednotenie je podobný zlúčeniu utriedených zoznamov, vo výsledku sa však žiadny prvok nesmie opakovať. Nepoužite žiadne pomocné funkcie ani predikáty (vrátane $Set$ a $Member$ ).

Špecifikácia:

Set (xs) \land Set (ys) \to Set (xs \cup ys)

Set (xs) \land Set (ys) \to \forall a (a \in xs \cup ys \leftrightarrow a \in xs \lor a \in ys)

xs \cup ys = ?

Úloha. Zadefinujte funkciu $Inter (xs, ys) \equiv xs \cap ys$ , ktorá vypočíta prienik množín $xs$ a $ys$ .

Napríklad $(2, 4, 8, 9, 10, 0) \cap (1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 0) = 2, 9, 0$ .

Využite (ale netestujte!), že $xs$ a $ys$ sú množiny. Použite podobný algoritmus ako pre zjednotenie. Nepoužite žiadne pomocné funkcie ani predikáty (vrátane $Set$ a $Member$ ).

Špecifikácia:

Set (xs) \land Set (ys) \to Set (xs \cap ys)

Set (xs) \land Set (ys) \to \forall a (a \in xs \cap ys \leftrightarrow a \in xs \land a \in ys)

xs \cap ys = ?

Úloha. Zadefinujte funkciu $Diff (xs, ys) \equiv xs ∖ ys$ , ktorá vypočíta rozdiel množín $xs$ a $ys$ .

Napríklad $(2, 4, 8, 9, 10, 0) ∖ (1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 0) = 4, 8, 10, 0$ .

Platia rovnaké obmedzenia a odporúčania ako v predošlých úlohách.

Špecifikácia:

Set (xs) \land Set (ys) \to Set (xs ∖ ys)

Set (xs) \land Set (ys) \to \forall a (a \in xs ∖ ys \leftrightarrow a \in xs \land \neg (a \in ys))

xs ∖ ys = ?

Úloha. Zadefinujte funkciu $Sdiff (xs, ys) \equiv xs ▵ ys$ , ktorá vypočíta symetrický rozdiel množín $xs$ a $ys$ .

Napríklad $(2, 4, 8, 9, 10, 0) ▵ (1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 0) = 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 0$ .

Platia rovnaké obmedzenia a odporúčania ako v predošlých úlohách.

Špecifikácia:

Set (xs) \land Set (ys) \to Set (xs ▵ ys)

Set (xs) \land Set (ys) \to \forall a (a \in xs ▵ ys \leftrightarrow a \in xs \land \neg (a \in ys) \lor \neg (a \in xs) \land a \in ys)

xs ▵ ys = ?

Úloha. Zadefinujte predikát $Subset (xs, ys) \equiv (xs \subseteq ys)$ , ktorý platí, ak $xs$ je podmnožinou $ys$ .

Napríklad $2, 4, 8, 9, 10, 0 \subseteq 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 0$ a $\neg (2, 4, 8, 9, 10, 0 \subseteq 2, 4, 6, 8, 10, 0)$ .

Platia rovnaké obmedzenia a odporúčania ako v predošlých úlohách.

Špecifikácia:

Set (xs) \land Set (ys) \to xs \subseteq ys \leftrightarrow \forall a (a \in xs \to a \in ys)

xs \subseteq ys \leftarrow ?