Clausal Language (ver. 5.81.19, by P.J. Voda, J. Komara, J. Kluka)

5. CVIČENIE Z PREDMETU ÚVOD DO DEKLARATÍVNEHO PROGRAMOVANIA

http://ii.fmph.uniba.sk/cl/courses/1-AIN-505-udp/0809ls/ex/ex05.cl

Dátum: 16. a 18. 3. 2009

Odporúčaná verzia CL: 5.81.19

WWW stránka predmetu: http://ii.fmph.uniba.sk/cl/courses/1-AIN-505-udp/0809ls/?lang=sk

Scroll down to “ASSIGNMENTS”.

Preskočte nasledujúce komponenty po nadpis „ÚLOHY“.

\dots = 20090316

A S S I G N M E N T S

Ú L O H Y

Binárna rekurzia

Note.

Use the format Nb to display a number in the binary representation. E.g. “6 = x:Nb” shows the number $6$ in the binary representation as $0110$ . “F(...) = x:Nb” displays the value of $F (Fill_arg)$ in the binary representation.

The constructors $x 0 = 2 \cdot x$ , and $x 1 = 2 \cdot x + 1$ are pre-defined in the module Standard.

In our definitions of functions we shall use the binary discrimination:

\dots \leftarrow \dots \land x = y 0 \land y = 0 \land \dots

\dots \leftarrow \dots \land x = y 0 \land y > 0 \land \dots

\dots \leftarrow \dots \land x = y 1 \land \dots

or

F (x 0, Fill_arg) = \dots \leftarrow x = 0 \land \dots

F (x 0, Fill_arg) = \dots \leftarrow x > 0 \land \dots

F (x 1, Fill_arg) = \dots \leftarrow \dots

Since S0(x) = $x 0$ , and S1(x) = $x 1$ (see the lecture), a sequence of $S_{0}$ 's and $S_{1}$ 's in the term representation is the reverse of the sequence of binary digits. E.g. $6$ = S0 S1 S1(0) = $0110$ . The term S1 S0 S1 S0(x) will be shown with the binary digits as $x 0 1 0 1$ .

Poznámka.

Na zobrazenie čísel v binárnej reprezentácii použite formát Nb. Napríklad „6 = x:Nb“ zobrazí číslo $6$ v binárnej reprezentácii ako $0110$ . „F(...) = x:Nb“ zobrazí hodnotu $F (Fill_arg)$ v binárnej reprezentácii.

Konštruktory $x 0 = 2 \cdot x$ a $x 1 = 2 \cdot x + 1$ sú definované v module Standard.

Na definovanie funkcií budeme používať binárnu diskrimináciu:

\dots \leftarrow \dots \land x = y 0 \land y = 0 \land \dots

\dots \leftarrow \dots \land x = y 0 \land y > 0 \land \dots

\dots \leftarrow \dots \land x = y 1 \land \dots

alebo

F (x 0, Fill_arg) = \dots \leftarrow x = 0 \land \dots

F (x 0, Fill_arg) = \dots \leftarrow x > 0 \land \dots

F (x 1, Fill_arg) = \dots \leftarrow \dots

Pretože S0(x) = $x 0$ a S1(x) = $x 1$ (viď prednáška), postupnosť $S_{0}$ a $S_{1}$ vo výraze je obrátená oproti zodpovedajúcej postupnosti binárnych číslic. Napríklad $6$ = S0 S1 S1(0) = $0110$ . Výraz S1 S0 S1 S0(x) sa použitím binárnych číslic zobrazí ako $x 0 1 0 1$ .

Assignment 1. Define the following arithmetic operations operating with the binary number representation. The number of binary digits must decrease in the recursive call.

Úloha 1. Definujte nasledujúce aritmetické operácie na binárnej (dvojkovej) reprezentácii čísel. Pri rekurzívnom volaní musí klesnúť počet binárnych číslic.

(a) Successor/Nasledovník $Succ (x) = x + 1$

Succ (x) = \dots

(b) Addition/Sčitanie $Add (x, y) = x + y$

Add (x, y) = \dots

(c) Multiplication/Násobenie $Mul (x, y) = x \cdot y$

Mul (x, y) = \dots

(d) Exponentiation/Umocnenie $Exp (x, y) = x^{y}$

Využite možnosť medzi podmienkami „priradiť“ hodnotu akéhokoľvek výpočtu do novej premennej, ktorú potom môžete použiť v ďalších podmienkach alebo vo výsledku:

\dots \leftarrow \dots \land F (x) = q \land \dots

Exp (x, y) = \dots

Chvostová rekurzia a akumulátory

Pre niektoré funkcie sa dá nájsť tzv. chvostovorekurzívna definícia, ktorú možno počítať efektívnejšie ako bežnú rekurzívnu definíciu. Chvostovorekurzívna funkcia má v každej klauzule (riadku) jediné rekurzívne volanie a výsledok funkcie sa priamo rovná tomuto rekurzívnemu volaniu:

F (x) = F (\dots) \leftarrow \dots

Chvostovorekurzívna definícia simuluje while alebo for cyklus v imperatívnych jazykoch akými sú Pascal či C. Na jej výpočet netreba zásobník (stack).

Funkciu $Sum (n)$ počítajúcu súčet čísel od $0$ po $n$

Sum (0) = 0

Sum (n + 1) = n + 1 + Sum (n)

vypočítame pomocou while cyklu nasledovne:

    s := 0;
    while n > 0 do begin
        s := s+n;
        n := n-1
    end;
    { cyklus skončí, keď n = 0 }
    Sum := s

Úloha 2. Simulujte uvedený while cyklus dvojargumentovou chvostovorekurzívnou (viď vyššie) funkciou $Suma (n, s)$ a použite ju na zadefinovanie funkcie $Sum (n)$ . Pomocný argument $s$ nazývame akumulátor. Inicializáciu akumulátora (s := 0) vykonáva hlavná funkcia $Sum$ vhodným volaním funkcie $Suma$ .

Suma (n, s) = \dots

Sum (n) = \dots

Funkciu $Rev (x)$ , ktorá obráti zoznam $x$ , sme na minulom cvičení definovali

Rev (x) = 0 \leftarrow x = 0

Rev (x) = Rev (y) \oplus (a, 0) \leftarrow x = a, y

Táto funkcia sa (pri troche predstavivosti) tiež dá vypočítať while cyklom:

    r := 0;
    while x = a,y do begin
        r := a,r;
        x := y
    end;
    { cyklus skončí, keď x = 0 }
    Rev := r

Tento program nepotrebuje zreťazenie. Navyše je efektívny: Na výpočet cyklu treba $k$ krokov, kde $k$ je dĺžka zoznamu $x$ . Naproti tomu na výpočet horeuvedenej definície $Rev$ treba rádovo $k^{2}$ krokov ( $k$ rekurzívnych volaní a v každom rádovo $k$ krokov na výpočet zreťazenia).

Úloha 3. Simulujte tento cyklus dvojargumentovou chvostovorekurzívnou (viď vyššie) funkciou $Reva (x, r)$ a použite ju na zadefinovanie funkcie $Rev (x)$ .

Reva (x, r) = \dots

Rev (x) = \dots

Úloha 4. Implementuje funkciu $n!$ (faktoriál) použitím pomocnej chvostovorekurzívnej funkcie $Facta (n, f)$ s akumulátorom $f$ .

Facta (n, f) = \dots

n! = \dots

Fibonacciho funkciu

Fib (0) = 1

Fib (1) = 1

Fib (n + 2) = Fib (n) + Fib (n + 1)

môžeme vypočítať pomocou while cyklu s dvoma pomocnými premennými nasledovne:

    a := 1; b := 1;
    while n > 0 do begin
        t := a+b;
        a := b;
        b := t;
        n := n-1
    end;
    Fib := a

Úloha 5. Simulujte tento cyklus trojargumentovou funkciou $Fiba (n, a, b)$ a použite ju na zadefinovanie funkcie $Fib (n)$ .

Fiba (n, a, b) = \dots

Fib (n) = \dots

Tupling

Tupling je technika, pri ktorej funkcia vráti $n$ -ticu (po anglicky $n$ -tuple) výsledkov. Takáto funkcia spravidla vzniká spojením niekoľkých funkcií, ktoré majú rovnaké argumenty, používajú rovnaký typ rekurzie a ich výsledky sú potrebné súčasne.

$n$ -tice vytvárame pomocou párovania. Pretože vieme, že funkcia vždy vráti $n$ hodnôt, nemusíme vytvárať zoznam (napr. $x, y, z, 0$ ), stačí hodnoty jednoducho pospájať párovaním ( $x, y, z$ ).

Úloha 6. Podobne ako na prednáške naprogramujte funkciu $Dm (x, y)$ , ktorá opakovaným odčítaním súčasne vypočíta podiel $q$ a zvyšok $r$ po delení čísla $x$ číslom $y$ . Funkcia vráti tieto dve hodnoty spojené do dvojice, teda $Dm (x, y) = q, r$ .

Použite na to pomocnú chvostovorekurzívnu funkciu $Dma (x, y, q)$ , ktorá simuluje cyklus

    q := 0;
    while x >= y do begin
        x := x-y;
        q := q+1;
    end;
    { keď cyklus skončí, x < y, preto x je zvyšok }
    Dma := q,x

a vráti dvojicu. Nezabudnite vo funkcii $Dm$ odchytiť prípad $y = 0$ , inak sa $Dma$ zacyklí.

Dma (x, y, q) = \dots

Dm (x, y) = \dots

Úloha 7. Zadefinujte funkciu ${Dm}_{1} (x, y)$ , ktorá vráti rovnaký výsledok ako $Dm$ a tiež ho vypočíta postupným odčítaním, ale bez pomocnej funkcie.

Návod: Pretože viete, že ${Dm}_{1}$ vždy vráti dvojicu, môžete rozdeliť výsledok rekurzívneho volania na jej dve zložky takto:

{Dm}_{1} (x, y) = \dots, \dots \leftarrow \dots \land {Dm}_{1} (\dots, \dots) = q, r \land \dots

{Dm}_{1} (x, y) = \dots, \dots

Úloha 8. Zadefinujte funkciu $Split (i, x)$ , ktorá rozdelí zoznam $x$ na dvojicu zoznamov $y, z$ . Zoznam $y$ obsahuje prvých $i$ prvkov zoznamu $x$ , zoznam $z$ obsahuje zvyšné prvky $x$ . Využite tupling a návod k úlohe 7, nepoužite pomocné funkcie.

Napr. $Split (3, 2, 4, 6, 8, 10, 0) = (2, 4, 6, 0), 8, 10, 0$

Split (i, x) = \dots, \dots

Úloha 9. Zadefinujte funkciu $Even_odd (x)$ , ktorá rozdelí zoznam $x$ na dvojicu zoznamov $y, z$ . Zoznam $y$ obsahuje párne prvky zoznamu $x$ , zoznam $z$ obsahuje nepárne prvky $x$ . Využite tupling a návod k úlohe 7, nepoužite pomocné funkcie.

Napr. $Even_odd (2, 3, 5, 4, 3, 6, 8, 1, 0) = (2, 4, 6, 8, 0), 3, 5, 3, 1, 0$

Even_odd (x) = \dots, \dots

Úloha 10. Zadefinujte funkciu $Unzip (x)$ , ktorá rozdelí zoznam dvojíc $x$ na dvojicu zoznamov $y, z$ . Zoznam $y$ obsahuje prvé zložky dvojíc zo zoznamu $x$ , zoznam $z$ obsahuje druhé zložky dvojíc z $x$ .

Napr. $Unzip ((9, 1), (8, 2), (7, 3), (6, 4), (5, 5), 0) = (9, 8, 7, 6, 5, 0), 1, 2, 3, 4, 5, 0$

Unzip (x) = \dots, \dots

Ďalšie cvičenia

Úloha 11. Prepíšte nasledujúce rekurzívne definície do chvostovorekurzívnych definícií. Všimnite si, že definované funkcie sa podobajú Fibonacciho funkcii $Fib_d (n)$ .

F_{1} (0) = 0

F_{1} (1) = 1

F_{1} (2) = 2

F_{1} (n + 3) = F_{1} (n + 2) + F_{1} (n + 1) + F_{1} (n)

F_{2} (0) = 0

F_{2} (1) = 1

F_{2} (2) = 2

F_{2} (n + 3) = 2 \cdot F_{2} (n + 2) + 5 \cdot F_{2} (n + 1) + 7 \cdot F_{2} (n) + 10

F_{3} (0) = 0

F_{3} (1) = 1

F_{3} (2) = 2

F_{3} (n + 3) = 6 \cdot F_{3} (n + 2) + 8 \cdot F_{3} (n) \dot{-} 5