Clausal Language (ver. 5.81.18, by P.J. Voda, J. Komara, J. Kluka)

2. CVIČENIE Z PREDMETU ÚVOD DO DEKLARATÍVNEHO PROGRAMOVANIA

http://ii.fmph.uniba.sk/cl/courses/1-AIN-505-udp/0708ls/ex/ex02.cl

Dátum: streda 20. a utorok 26. 2. 2006

Odporúčaná verzia CL: 5.81.19

WWW stránka predmetu: http://ii.fmph.uniba.sk/cl/courses/1-AIN-505-udp/0708ls/?lang=sk

Kontakt na vyučujúcich: voda_zavináč_fmph.uniba.sk, kluka_zavináč_fmph.uniba.sk

\dots = 20080220

A S S I G N M E N T S

Ú L O H Y

Assignment 1. Your task is to

define the arithmetic operations below as dicussed in the lecture on recursive definitions;
use the above defined application displays to display these functions;
apply the defined function to several different arguments in queries.

Within your definitions, you can only use the successor function S( $n$ ) = $n'$ , the discrimination

\dots \leftarrow \dots \land a = 0 \land \dots

\dots \leftarrow \dots \land a = b' \land \dots

where $b$ is a new variable and those built-in operations that you have already defined as functions. For example, you may use the built-in addition operator + to define the multiplication function $Mul$ .

Úloha 1. Vašou úlohou je

zadefinovať doleuvedené aritmetické operácie spôsobom rozoberaným na prednáške;
použiť horeuvedené zobrazenia aplikácií na zobrazovanie týchto funkcií;
aplikovať zadefinované funkcie na niekoľko rôznych argumentov v queries.

V definíciách môžete použiť iba funkciu nasledovník S( $n$ ) = $n'$ , diskrimináciu

\dots \leftarrow \dots \land a = 0 \land \dots

\dots \leftarrow \dots \land a = b' \land \dots

v ktorej $b$ je nová premenná, a tie zabudované operácie, ktoré ste už zadefinovanovali ako funkcie. Napríklad na definíciu funkcie násobenia $Mul$ môžete použiť zabudovaný operátor sčítania +.

(a) Addition/Sčítanie $Add (x, y) = x + y$

Add (x, y) = \dots

(b) Predecessor/Predchodca $Pred (x) = x ∸ 1$

Pred (x) = \dots

(c) Subtraction/Odčítanie $Sub (x, y) = x ∸ y$

Sub (x, y) = \dots

(d) Multiplication/Násobenie $Mul (x, y) = x \cdot y$

Mul (x, y) = \dots

(e) Division/Delenie $Div (x, y) = x \div y$

Hint: In this definition, you may use the discrimination:

Návod: V tejto definícii môžete použiť diskrimináciu:

\dots \leftarrow \dots \land a < b \land \dots

\dots \leftarrow \dots \land a ≧ b \land \dots

Div (x, y) = \dots

(e*) How can you replace the discrimination $x < y$ | $x ≧ y$ using only the functions defined above and the discrimination $x = 0$ | $x = y'$ ? Define a function ${Div}_{1}$ accordingly.

Ako môžete diskrimináciu $x < y$ | $x ≧ y$ nahradiť použitím iba vyššie definovaných funkcií a diskriminácie $x = 0$ | $x = y'$ ? Definujte takto funkciu ${Div}_{1}$ .

{Div}_{1} (x, y) = \dots

(f) Remainder/Zvyšok $Mod (x, y) = x \mod y$

Mod (x, y) = \dots

(g) Greatest common divisor/Najväčší spoločný deliteľ $Gcd (x, y) = \gcd (x, y)$

Hint: Use the euclidean algorithm. Two versions of this algorithm are known: one with subtraction, another with the remainder operation. Use the remainder version.

Návod: Použite euklidovský algoritmus. Tento algoritmus existuje v dvoch verziách: s odčítaním a so zvyškom. Použite verziu so zvyškom.

Gcd (x, y) = \dots

Assignment 2. Define the following functions by recursion (even if there is a simpler way). You an use built-in arithmetic operation. However, do not use subtraction, it is not necessary in any of these definitions.

Úloha 2. Ďalej definujte rekurziou nasledujúce funkcie (aj keď je aj jednoduchšia možnosť). Môžete používať zabudované aritmetické operácie. Nepoužívajte však odčítanie, na žiadnu z týchto definícií nie je potrebné.

(a) Power/Mocnina $Pow (x, y) = x^{y}$

(b) Sum of the numbers/Súčet čísel $0, \dots, n$ $Sum (n) = \sum_{i = 0}^{n} i$

(c) Factorial/Faktoriál $Fact (n) = n!$

(d) Fibonacci function/Fibonacciho funkcia $Fib (n) = F_{n}$

The value $F_{n}$ is the $n$ -the element (counting from 0) of the Fibonacci sequence $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, \dots$ whose first two elements are 1, and each subsequent element is the sum of its two preceding elements.

Hint: You have to distinguish the cases $n = 0$ , $n = 1$ , and $n = m + 2$ for some $m$ . Recall that $1 = 0'$ a $m + 2 = m''$ .

Hodnotou $F_{n}$ je $n$ -tý prvok (počítajúc od 0) Fibonacciho postupnosti $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, \dots$ , ktorej prvé dva prvky sú 1 a každý ďalší prvok je súčtom predchádzajúcich dvoch.

Návod: Musíte rozlíšiť prípady $n = 0$ , $n = 1$ a $n = m + 2$ pre nejaké $m$ . Uvedomte si, že $1 = 0'$ a $m + 2 = m''$ .

(e) Combinatorial number (binomial coefficient)/Kombinačné číslo (binomický koeficient) $Comb (n, k) = (\binom{n}{k})$

Hint: Use the properties of the Pascal triangle.

Návod: Využite vlastnosti Pascalovho trojuholníka.